除了定义之外，两个矩阵相似有什么充要条件？

Question

除了定义之外，两个矩阵相似有什么充要条件？
如果两个矩阵的特征值（包括重数）相同，并且特征向量也相同，那么这两个矩阵是否相似？求指点。
另外还有几个问题：
1、若两个矩阵相似，则他们的特征值相同，他们的特征向量空间基础解系是否相同？
2、若两个矩阵具有相同的特征值及重数，阶数，相同的特征向量解空间基础解析，这两个矩阵是否为同一个矩阵。
不懂的不要回答。

Answer 1

方阵A和B相似的充要条件是λI-A和λI-B作为λ-矩阵相抵.
由此还可以推出相似变换一系列的全系不变量, 比如行列式因子, 不变因子, 初等因子, Frobenius标准型, Jordan标准型.
这种东西普通的教材上都有, 不要凭空问, 找本教材好好学一遍才是正道.

另外, 讨论相似的时候不要过于依赖特征向量, 除非有完全的特征向量系(也就是说所有特征向量可以张满全空间, 或者说可对角化), 否则特征向量总是要丢失一部分信息的.

至于你的问题, 显然都是否定的.
1. 即使是同一个矩阵, 即使可对角化, "基础解系"也不可能是唯一的, 因为基础解系是解空间的一组基, 基的选取怎么可能唯一.
最多也就说相似的矩阵在计代数重数和几何重数的意义下具有相同的特征值.

2. 最简单的反例
A=
0 1
0 0
和
B=
0 2
0 0
你提到的这些东西都相同又如何, 也不可能唯一确定矩阵.
只有可对角化的矩阵才能通过特征值和相应的特征向量来还原, 还是那句话, 特征向量不够多就会丢失信息.

Answer 2

1. 是的，因为循序可交换
2. 否。反例：要把矩阵的基向量调换位置，他们的征值及重数，阶数，特征向量，解空间基础解析 都相同。