函数单调性的判定方法有哪三种

Question

如题所述

Answer 1

1. 定义法

根据函数单调性的定义，在这里只阐述用定义证明的几个步骤:

①在区间D上，任取 , ，令 ;

②作差  ；

③对 的结果进行变形处理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等) ；

④确定符号  的正负；

⑤下结论，根据“同增异减”原则，指出函数在区间上的单调性。

2. 等价定义法

 设函数  的定义域为D，在定义域内任取  ,  ，且   ，

若  >0，则函数单调递增；若有 <0，则函数单调递减。

3. 图象观察法

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增。

拓展资料

函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

百度百科单调性

Answer 2

一般地，判断(而不是证明)函数的单调性，有下面几种方法。
1。基本函数法
用熟悉的基本函数（一次、二次、反比例、指数、对数、三角等函数）的单调性来判断函数单调性的方法叫基本函数法。
2。图象法
用函数图象来判断函数单调性的方法叫图象法。图象从左往右逐渐上升是增函数。图象从左往右逐渐下降是减函数。
3。定义法
用单调性的定义来判断函数的单调性的方法叫定义法。设x1,x2∈D,x1<x2有f(x1)<f(x2)
(>)f(x)是D上的增函数（减函数）。

过程为取值——作差——变形——判符号——结论。其实，这也是单调性的证明过程。
4。函数运算法
用单调函数通过四则运算得到的和差积商函数来判断函数的单调性的方法叫函数运算法。
设f，g是增函数，则在f的单调增区间上，或者f与g的单调增区间的交集上，有如下结论：
①f+g是增函数。
②－f是减函数。
③1/f
是减函数(f>0)。
④fg是增函数（f>0,且g>0）。
5。导数法

用导数符号来判断函数单调性的方法叫导数法。f（x）是增函数(减函数)f′>0(f′<0).
6。复合函数单调性判断法则
由函数u＝φ(x)和函数y=f(u)复合而成的函数y=f[φ(x)]叫复合函数.复合函数的单调性判断法则如表所示。口诀：相同则增，相异则减。
复合函数单调性的四种情形可列表如下。
函
数
单
调
性

①
②
③
④
内层函数t=φ（x）
↑
↓
↑
↓
外层函数y=f（t）
↑
↓
↓
↑
复合函数y=f[φ（x）]↑
↑
↓
↓
复合函数单调性的证明，请看参考资料
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/c4c9ecc9e5e03d117f3e6f15.html

Answer 3

几种主要的判断方法：
一、作差法。根据增函数、减函数的定义，利用作差法证明函数的单调性。其步骤有：⑴取值，⑵作差，⑶变形，⑷判号，⑸定性。其中，变形一步是难点，常用技巧有：整式型---因式分解、配方法，还有六项公式法。分式型---通分合并，化为商式。二次根式型---分子有理化。
二、图像法。利用函数图像的连续上升或下降的特点判别函数的单调性。
三、导数法。利用导函数的符号判别函数的单调性。
四、运算法。利用已知函数的单调性判别和差型函数的单调性。这种方法的根据有如下四种：
⑴增+增=增⑵增-减=增
⑶减+减=减⑷减-增=减
五、复合函数法。对于复合函数的单调性，可以根据各层函数单调性去判别。其规律是：如果各层函数中，减函数的个数是偶数，则原复合函数是增函数；如果各层函数中，减函数的个数是奇数，则原复合函数是减函数。当是最简单的两层复合函数时，通常根据所谓的‘同增异减’判别法。即，内外层函数的单调性相同时，原函数是增函数；内外层函数的单调性不相同时，原函数是减函数。
六、奇偶性法。如果函数具有奇偶性，则单调性可以简便判别。一般先用作差法判别定义域大于0时的单调性，再根据图像的对称性得出定义域小于0时的单调性。正所谓‘巧借奇偶性，减半判单性’就是这个道理。

Answer 4

一般地，判断(而不是证明)函数的单调性，有下面几种方法。
1。基本函数法
用熟悉的基本函数（一次、二次、反比例、指数、对数、三角等函数）的单调性来判断函数单调性的方法叫基本函数法。
2。图象法
用函数图象来判断函数单调性的方法叫图象法。图象从左往右逐渐上升�8�0是增函数。图象从左往右逐渐下降�8�0是减函数。
3。定义法
用单调性的定义来判断函数的单调性的方法叫定义法。设x1,x2∈D,x1<x2有f(x1)<f(x2) (>)�8�0f(x)是D上的增函数（减函数）。
过程为取值——作差——变形——判符号——结论。其实，这也是单调性的证明过程。
4。函数运算法
用单调函数通过四则运算得到的和差积商函数来判断函数的单调性的方法叫函数运算法。
设f，g是增函数，则在f的单调增区间上，或者f与g的单调增区间的交集上，有如下结论：
①f+g是增函数。
②－f是减函数。
③1/f 是减函数(f>0)。
④fg是增函数（f>0,且g>0）。
5。导数法
用导数符号来判断函数单调性的方法叫导数法。f（x）是增函数(减函数)�8�0f′>0(f′<0).
6。复合函数单调性判断法则
由函数u＝φ(x)和函数y=f(u)复合而成的函数y=f[φ(x)]叫复合函数.复合函数的单调性判断法则如表所示。口诀：相同则增，相异则减。
复合函数单调性的四种情形可列表如下。

函 数 单 调 性
① ② ③ ④
内层函数t=φ（x） ↑ ↓ ↑ ↓
外层函数y=f（t） ↑ ↓ ↓ ↑
复合函数y=f[φ（x）]↑ ↑ ↓ ↓

复合函数单调性的证明，请看参考资料
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/c4c9ecc9e5e03d117f3e6f15.html

Answer 5

1.定义法 证明f(x1)-f(x2)>0 (x1<x2)2.结合图形判定3.根据函数及其定义域确定其单调性,如y=x^2,在(0,∞)就是单调函数