高数 极限 洛必达

Question

lim (3sinx-sin3x)/cx∧k=1
求c,k.
请问为什么不能用洛~法则求解
解析上说不可用 洛必达的前两条件都满足 问题可能出在第三个条件上 望理解的大侠指教下

Answer 1

为什么不能用洛~法则求解－－－－－－－可以啊！以下用洛必达求该极限。
lim (x→0)(3sinx-sin3x)/cx∧k=lim (x→0)(3cosx-3cos3x)/ckx^(k-1)
=lim (x→0)(-3sinx+9sin3x)/ck(k-1)x^(k-2)=lim (x→0)(-3cosx+27cos3x)/ck(k-1)(k-2)x^(k-3)
由于lim (x→0)(-3cosx+27cos3x)=-3+27=24≠0
∴lim (x→0)x^(k-3)≠0 k-3=0 k=3
lim (x→0)(-3cosx+27cos3x)/ck(k-1)(k-2)x^(k-3)=24/6c=1
c=4

解析上说不可用 洛必达的前两条件都满足 问题可能出在第三个条件上－－－－－－－－这个解析显然有问题。作者过于谨慎了。也可以说作者没有吃透洛必达法则的精神。当k=3时不是就满足洛必达法则的第三个条件么。
不过，这个题的正解应该是用泰勒展开式，因为相比用洛必达法则的工作量小。但这不能说用洛必达法则就不可解。－－－－－－－也许原书的作者就是这个意思。

Answer 2

可以吧！x-->0 只要正确应用

3sinx-sin3x=0
3cosx-3cos3x=0
-3sinx+9sin3x=0
-3cosx+27cos3x=24
然后c*k*k-1*k-2*x^k-3=24 ==>c=4,k=3