å ä½å¦æ¯ä¸é¨ç 究ã空é´ãä¸ã移å¨ãçå¦é®.è¿éçã空é´ãæçæ¯æ£ç»çãå ä½ç©ºé´ã,
å
æ¬åç§å
·ä½ææ½è±¡çå ä½å¾å½¢,çè³æ¯æ´ä¸ªå®å®ç©ºé´çå ä½æé ;èã移å¨ãåæ¯è¿äºå ä½ç©º
é´ç表ç°,ä¾å¦:平移,æ转, 对称,æ³¢å¨çç.å æ¤,å ä½å¦å¯è¯´æ¯çå®ä¸çä¸æ½è±¡ä¸ççè
å°ä¸æ¼åçæ¼åº.èæ°å¦å®¶Descartes (ç¬å¡å¿, 1596 1650)æ¾è¯´:ã人类å¿æºä¸ç俱æ¥æå®
ç¾,空é´,æ¶é´åè¿å¨çè§å¿µ.ã ä¸è®ºæ¯å®é
çæ´»ä¸ä¸ºäºä¸éä¸è®¡ç®çéè¦,ææ¯å¯¹æ¼å®å®ç©ºé´
ç好å¥ä¸æ¢ç´¢,亦ææ¯å¯¹æ¼ãç¾ãç追æ±,èªä»äººç±»å¼å§çæ´»å¨å°çä¸,å ä½æ¦å¿µçæ¼è¿ä¾¿æªæ¾
åæ.èå ä½å¦çåå±,ä¹ä½¿äººç±»å¼å§çæ£è®¤è¯æ们æçåçå®å®ç©ºé´.
å½±åå ä½å¦åå±çéè¦ææ³
å¨åè²åºæå¦å·¨å¤§ç¥æ¨ä¹ç°ä»£å ä½å¦çè¿ç¨ä¸,许å¤éè¦çç论æ¯è¿æ£µå ä½ç¥æ¨ç主è¦æ
å¹².以ä½è
çè§ç¹,æ们å°å
¶ç±å¤è³ä»,æ»æ¬ä¸ºä»¥ä¸25个:
1. çæ¦å¿µçå½¢æ.2.æ¯æ°å®ç.3.欧åºçå¾·å ä½åæ¬åå
¶å½±å.4.ææå¾çäºä¸ªæ£ç«æ¹ä½.
5.é¿åºç±³å¾·ççä½ç§¯çæ¨å¯¼.6.ç¥å²ä¹åç.7.ç¬å¡å¿ç座æ ç³»ç».8.çé¡¿,è±å¸å°¼å
¹çå¾®
积ååæ.9.é«æ¯çä¼ç¾å®ç,Gauss-Bonnetå®ç.10.é欧å ä½çåå±ä¸é»æ¼çå
å¨å ä½
è§.11. Lagarangeçååæ³åLaplaceç天ä½åå¦.12.å°¤ææ°ä¸æ³¢å¨æ¹ç¨.13. Klein's
24
å ä½å¦åå±å²ç®ä»25
program.14.åºå è±å¹³é¢ååºæ¬ç¾¤.15. Hilbertçå ä½åºç¡.16.ç±å æ¯å¦ç广ä¹ç¸å¯¹è®º.
17. de Rham cohomology,Hodgeç论åCartançå¾®åå½¢å¼è§ç¹.18.éç身çç¹å¾µç±»
ä¸Chern-Weil, Chern-Simonç论.19. Rauchæ¯è¾å®ç.20. Atiyah-Singerææ å®ç.
21.ä¸ææ¡æææ代表çå ä½åæ.22. Donaldson, Seiberg-Wittenç论.23. M. Gromov
çè¾å ä½.24. Mandelbrotçç¢å½¢å ä½ä¸æ··æ²ç论.以åçµèæ¶ä»£ç产ç©-25.计ç®å ä½ç
åå±,è¿å¯è½æ¯æ¬ä¸çºªæ为éè¦ç.
以ä¸æ们ç±ææ³çæ¼è¿ä»¥å人类å¨å ä½è§ç¹ä¸çåå,ä»ä¸è¿°çéè¦ææ³ç论ä¸,åæåº
å个åè¾ä¸ºæ·±å
¥çæ¢è®¨.ä»ä½è
çè§åº¦æ¥ç,è¿å个ææ³ä»£è¡¨äºæ´ä¸ªå ä½åå±ç主轴.å®ä»¬åå«
æ¯:
ä¸. Pythagoras (æ¯è¾¾å¥ææ¯,约西å
å6ä¸çºª) :æ¯æ°å®ç.
æ¯æ°å®çå称为ãåé«å®çã,å¨å°å¦çæ°å¦ææå
å³ææ¶å½.è¿ä¸ªå¨ç°å¨çèµ·æ¥ç¸å½å®¹æ
ç解çå®çå´å¯è§ä¸ºä¸ä¸ªææè½å¦åå±çéè¦ææ .ç®åç说,ç±æ¼æ¯æ°å®ççæåº,æ¾ç¤ºäººç±»
å·²ç»è½å¤ãåæ¥å°ææ¡æ¹åçååã.两åå
ç¾å¹´åç人已ç»ç¥é,å¦æä»èµ·ç¹å¼å§åä¸èµ°åæ¥,
åååèµ°ä¸æ¥,åæåå°è¾¾çå°æ¹ä¸ååºåç¹çè·ç¦»ä¸ºäºæ¥ä¹é¥.ä¹å°±æ¯è¯´æ们已ç»ä¼ååæ¹
å,èä¸ååªæ¯å线çå¨åè¿.æäºè¿æ ·çæ¦å¿µ,ä¸è§å½¢ä¸çæ£å¼¦å®ç,ä½å¼¦å®éå°±å¯ä»¥è¢«æ¨å¯¼
åºæ¥,并å¯è¢«è¿ç¨æ¥æµéè·ç¦»,é æ¡¥,çå±å计ç®ç®å¼¹å°ç¨çç.
äº. Euclid (欧åºçå¾·,约西å
å300 260) :å ä½åæ¬.
Archimedes (é¿åºç±³å¾·,约西å
å287 212) :级æ°å,çä½ç§¯.
欧åºçå¾·çå ä½åæ¬(The Elements)æ»ç»äºå¸è
æ¶ä»£çæ°å¦ææ.å®è¢«è®¤ä¸ºæ¯è¥¿æ¹ç§
å¦åå±å¼æ¼ä¸æ¹ç§å¦çæ大ç¹è².å¨ä¹¦ä¸æ¨å¯¼åºè®¸å¤ç°åæ¼ä¸å¦æ°å¦ææå
çéè¦ç»æ,ä¾å¦
åæ¯æ°å®ç,ä¸è§å½¢å
è§åçæ¼180度çç,èæ¨åºè¿äºç»æç主è¦ä¾æ®,åæ¯åä¸é¢å 个åºæ¬
çå ä½å
¬è®¾:
äºå¤§å ä½å
¬è®¾
1 .è¿ç¸å¼ä¸¤ç¹,è½ä½ä¸åªè½ä½ä¸ç´çº¿(ç´çº¿å
).
2.线段(æéç´çº¿)å¯ä»¥ä»»æå°å»¶é¿.
3.以任ä¸ç¹ä¸ºåå¿,ä»»æé¿ä¸ºåå¾,å¯ä½ä¸å(åå
).
4.å¡æ¯ç´è§é½ç¸ç(è§å
).
5.两ç´çº¿è¢«ç¬¬ä¸æ¡ç´çº¿ææª,å¦æå侧两å
è§åå°æ¼ä¸¤ä¸ªç´è§,å两ç´çº¿ä½å»¶é¿æ¶å¨æ¤ä¾§
ä¼ç¸äº¤.
26æ°å¦ä¼ æ28å·1æ æ°93å¹´3æ
å
¶ä¸ç¬¬äºå
¬è®¾åå«åãå¹³è¡å
¬è®¾(the parallel axiom)ã,å 为å®çä»·æ¼:
5'.å¨ä¸å¹³é¢å
,è¿ç´çº¿å¤ä¸ç¹,å¯ä½ä¸åªå¯ä½ä¸ç´çº¿è·æ¤ç´çº¿å¹³è¡.
奥çæ¼ææ对æ¼è¿æ¬å¨ä¸¤åä¸ç¾å¤å¹´åå®æç书æå¾é«çè¯ä»·,ä»çè¯ä»·æ¯: (åè§[3],
p.69 p.70)
å®ç»äºç¸å½çãç¡®å®æã;
å®çæ¹æ³å
·æ强大çå¨å;
è¯ææ¹æ³å±ç°é«å¦çææº;
å ä½å¾å½¢çç¾æ.
ä¹è®¸ä»¥ç°ä»£çè§åº¦çæ¥,å ä½åæ¬ææåçä»
æ¯ç¸å½åºç¡çå
容,ä½æ¯å¨ä¸¤å两ç¾å¤å¹´ä»¥
å,人类å´è½ä»¥è¿äºç®åçç¥è¯,å ä¸å¯¹å¤©æçè§æµ,å·§å¦å°æµéåºå°ççé¿åº¦.åæææ¯ç¹å°¼
(Eratosthenes,约西å
å270-190)éç¨äºå¦ä¸çåæ³:è·ç¦»å½æ¶çäºå山大åæ£åæ¹500è±
å©å¤æä¸åº§äºæ¯æå,è¿ä¸ªåå¸æèç¸å½ç¹æ®çå°çä½ç½®,å®ä¸æ们çåä¹å¸ç¸å,ä½æ¼ååå½
线ä¸.æ以å¨äºæ¯æåçå°é¢ä¸æä¸ä¸æ ¹æç«¿,è§å¯æ¯å¤©æ£åç«¿å½±çé¿åº¦,æ们å¯ä»¥ç¡®å®ä¸å¹´ä¸
å¤è³(太é³ç´å°ååå½çº¿)çæ¶é´.åæææ¯ç¹å°¼å¨å¤è³çæ£åæ¶å,åæ¶å¨äºå山大åä¸äºæ¯
æåæä¸ä¸æ ¹æç«¿,并ä¸æµéåºæç«¿ä¸å¤ªé³å
线æ夹çè§åº¦å¤§çº¦æ¯åå¨é¿ç50åä¹ä¸,å èç®
åºå°ççå¨é¿å¤§æ¦æ¯500Ã50 = 2500 (è±å©).è¿å·²ç»æ¯ç¸å½ç²¾ç¡®çæ°å¼.å¨é£ä¸ªå¤§å¤æ°äºº
认为å°è¡¨æ¯å¹³å¦ç年代,åªç¨ä¸äºç®åçæ°å¦ç论å天æç¥è¯,å´å¯ä»¥æå°çç大å°æµéåºæ¥.
å¨å¸è
æ¶ä»£,人类å¯ä»¥å¤çä¸äºé常æ£è§çå¾å½¢.å°äºé¿åºç±³å¾·çæ¶ä»£,ä»å©ç¨æ æåç
æ¥æ¨å¯¼ççä½ç§¯.é¤æ¤ä¹å¤,é¿åºç±³å¾·å¯¹æ¼å¼¯æ²çå ä½å½¢ä½ä¹æåæ¥çææ¡.ä¾å¦ä»ç¨æ 穷级æ°
åçæ¹æ³è½å¤æ±å¾ç´çº¿ä¸æç©çº¿å´æçåºåé¢ç§¯å¤§æ¦æå¤å¤§.å¦ä¸æ¹é¢,å¨å¤§çº¦è¥¿å
äºä¸çºªæ¶,
ä¸å½æ°å¦å®¶ç¥å²ä¹å©ç¨æè°çç¥å²ä¹åçãè¥ä¸¤ç«ä½å¨çé«å¤æªçé¢ç§¯ä¸æ ·,åè¿ä¸¤ä¸ªç«ä½ç
ä½ç§¯ç¸çã,ä¹å¯ä»¥æ¨ç®åºççä½ç§¯.è½ç¶è¿äºé®é¢å¨å¾®ç§¯ååºç°ä¹åå°±åå¾ç¸å½å®¹æ解å³,ä½
æ¯å¨å¾®ç§¯åè¯çä¹å人类就æè¿æ ·çæ¦å¿µ,å
¶å®æ¯ç¸å½ä¼å¤§ç.
ä¸. Descartes (ç¬å¡å¿, 1596 1650) :座æ ç³»ç».
æ ¹æ®ç§å¦æ¼è¿çè¿ç¨çæ¥,ç¬å¡å¿ç座æ ç³»ç»å¯è¯´æ¯è¥¿æ¹ç§å¦åå±çéè¦éç¨ç¢.å¨ä¸ä¸ª
æ½è±¡çå¹³é¢ä¸å»ºç«ä¸ä¸ªç´è§åº§æ ç³»ç»Xä¸Y,精确å°æè¿°æ¯ä¸ä¸ªç¹çä½ç½®,è¿æ ·çæ¦å¿µå¯¹ç°
å¨çå½ä¸çæ¥è¯´,æ¯ç¸å½å®¹æç解ç,ä¹è§å¾å¾å®¹æå¦,ä½æ¯å®å´æåæ¶ä»£çä½ç¨.å¨å¸è
æ¶ä»£,
人类å¤çå ä½çé®é¢,åªè½ä»¥å¾å½¢çè§åº¦åºå,éè¿ä½å¾,ç»è¾
å©çº¿çæ¹å¼æ¥å³å®è¯¸å¦æ¯å¦çå
ææ¯å¦åç´çé®é¢.ä½æ¯è¿ä¸ªåº§æ ç³»ç»ä¸ç»å®ä¹å,æ们便å¯ä»¥æå ä½é®é¢ä»£æ°å.ä¾å¦,å¨ç¬
å¡å¿ä¹åæäºè§£çç´çº¿æååªæ¯ä¸ä¸ªå¾å,ä½æ¯æäºåº§æ ç³»ç»ä¹å,æ们å¯ä»¥ç¨æ¹ç¨å¼å¾ç²¾ç¡®
å ä½å¦åå±å²ç®ä»27
å°æå®ä»¬æè¿°åºæ¥,ä¹å¯ä»¥å¾æ¸
æ¥çç¥éå®ä»¬çç¸äº¤ç¶åµ.é¤äºæå ä½å¾å转æ¢æå¯æä½çæ°
åä¹å¤,ç¬å¡å¿ç座æ ç³»ç»åæ¶è¯´æäºæ°åçé®é¢ä¹æå
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