不妨设f(x)在R上单调递增.
设f(x)的
间断点集为A.
对a ∈ A, 定义L(a) = lim{x → a-} f(x), R(a) = lim{x → a+} f(x).
由f(x)单调递增, L(a), R(a)存在, 且L(a) ≤ f(a) ≤ R(a).
而由a是间断点, 有L(a) < R(a), 否则L(a) = f(a) = R(a)即f(x)在a连续.
因此我们将A中的点a对应到了一个非空
开区间(L(a),R(a)).
对任意a, b ∈ A, a < b, 有R(a) ≤ f((a+b)/2) ≤ L(b).
因此A中不同点对应到的开区间彼此不交.
但是R中的一族不交开区间至多有可数个(每个开区间包含不同的有理数, 但有理数集可数).
因此A至多可数.