算了一个小时 还是没能算出来 不过在百度上找到了答案 如下:
G′(x0)的符号为正,理由为:因为G(x)=x2+2-alnx-bx有两个零点x1,x2,则有
x12+2-alnx1-bx1=0x22+2-alnx2-bx2=0
,两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0,即x2+x1-b=
a(lnx2-lnx1) x2-x1
,
于是G′(x0)=2x0-
ax0
-b=(x1+x2-b)-
2ax1+x2
=
a(lnx2-lnx1) x2-x1
-
2ax1+x2
=
ax2-x1
[ln
x2x1
-
2(x2-x1) x1+x2
]
=
ax2-x1
[ln
x2x1
-
2(
x2x1-1)1+
x2x1
]
①当0<x1<x2时,令
x2x1
=t,则t>1,且u′(t)=
1t
-
4(1+t)2
=
(1-t)2t(1+t)2
>0,则u(t)=lnt-
2(t-1)1+t
在(1,+∞)上为增函数,
而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt-
2(t-1)1+t
>0,又因为a>0,x2-x1>0
所以G′(x0)>0;
②当0<x2<x1时,同理可得:G′(x0)>0
综上所述:G′(x0)的符号为正.
勉强看吧 ,
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http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/ae8bab66-84e2-4e85-bea4-fb213a77ce1a