值域的求法

Question

如题所述

Answer 1

值域的求法有单调性法、分离常数法（拆分法）、换元法。

1、单调性法：

如果由两个或者多个单调函数加减构成的新函数，注意以下几个原则：增函数+增函数=增函数、增函数-减函数=增函数、减函数+减函数=减函数、减函数-增函数=减函数，这样判断好函数单调性以后就可以带入求值了。

先求函数定义域，因为偶次根式下的数需要大于等于零，所以x≥0且1-x≥0，可求出0≤x≤1，又因为根号的作用是，改变根号下函数的大小不改变函数的增减性质，这个函数可以看成增函数-减函数的模式，所以是增函数，把x的最大和最小分别带进去即可。

2、分离常数法（拆分法）：

形如y=ax+b/cx+d这种形式的函数，因为如果分子和分母都含有未知数时，无法分析函数的增减性，一般我们会选择分离常数的方法，只让分子或者分母上含有未知数，我更喜欢称之为拆分法。

可以变化函数y=x+2-5/x+2=1-5/x+2，因为当-1≤x≤3时，x+2单调递增，5/x+2单调递减，所以此时函数在定义域内为单调递增函数，带入x的最大最小值即可。

3、换元法：

这是最常用的一种方法，可以把对我们计算产生干扰的函数转换成利于我们计算的函数，其原理就是化高次为低次，化无理为有理，化分式为整式

这个是增函数+减函数的模式，不能确定函数的增减性，此时可以通过换元的方式解决，比如令根式=t（t≥0），则2x=1-t²，函数y=1-t²+t，相当于求关于t的二次函数，开口向下，对称轴为t=0.5，因为t大于等于零，根据二次函数性质求最值即可。