线性代数题目:证明线性相关

Question

线性代数题目:设n阶矩阵H是正定矩阵,R^n中的非零向量组a1,a2,...an满足（ai）THai=0（i=/j，i,j=1，2，...，n）,试判断向量组a1，a2，...，an的线性相关性。

Answer 1

　　向量组肯定是线性无关的。
　　我们考虑反证法，假定它们是线性相关的，比如说，a1和其他向量是相关的，那么a1可由其他向量线性表出：a1=c2*a2+c3*a3+...+cn*an。ci是系数，而且肯定有一个非零，比如说c2。
　　现在来看a1^T H a2 （^表示上标），由上式，得
　　a1^T H a2 = c2 a2^T H a2 >0（因为H正定）
　　而根据条件，1不等于2，所以a1^T H a2=0，矛盾。
　　所以向量组线性无关。