用正交变换化二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2+x2^2

Question

题目有误 应该是f(x1,x2,x3)=2x1x3+x2^2

Answer 1

化成矩阵010 -w 1 0
110―> 1 1-w 0―>-w*（w 1）*（w
000 0 0 -w
-2） =0―>w=0.-1.2将这三个值分别带入上面第二个矩阵取得相应的值

Answer 2

二次型的矩阵 A=
0 1 0
1 1 0
0 0 0
特征值为

-0.6180
0
1.6180
手工算不行, 题目不好追问

等式后是2x1x3+x2^2 谢谢刘老师 求详细解答啊 会给满意回答

追答

晕...你害我啊
二次型的矩阵 A =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
|A-λE|=
-λ 0 1
0 1-λ 0
1 0 -λ
= -(1-λ)^2(1+λ).
所以A的特征值为: λ1=λ2=1, λ3=-1.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T, a2=(1,0,1)^T --正交
(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^T
将a1,a2,a3单位化得
b1=(0,1,0)^T, b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T
令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵
所以 X=QY 为正交变换, 且有 f = y1^2+y2^2-y3^2

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