椭圆与直线的位置关系

Question

过椭圆左焦点F且斜率为根号3的直线交椭圆于A、B两点，若FA=2FB，则椭圆离心率为？答案2/3，选择题，求过程

Answer 1

方法一：A（x1,y1),B(x2,y2)由题：y1/y2=-2
-2-1/2=y1/y2+y2/y1=(y1平方+y2平方)/y1y2=(y1+y2)^2/y1y2-2
(y1+y2)^2/y1y2=-1/2
直线：x=√3/3y-c与椭圆联立化简得：（1/3a^2+1/b^2)y^2-2√3cy/3a^2+c^2/a^2-1=0
用韦达得e=2/3
方法二：分别从A、B向左准线作垂线AM、BN，垂足M、N，
∵倾斜角为60度,∴|AM|>|BN|,
作BH⊥AM，垂足H，
|AH|=|AM|-|BN|，
根据椭圆第二定义，|AF|/|AM|=e,
|BF|/|BN|=e，
|AF|/|BF|=|AM|/|BN|=2，
|MH|=|BN|，
|AM|=2|MH|，
∴H是AM的中点，
BH是AM的垂直平分线，
〈MAB=〈AFX=60°，
∴△AMB是正△，
|AB|=|AM|，
|AF|/|BF|=2，
|AF|/|AB|=2/3，
∴离心率e=|AF|/|AM|=|AF|/|AB|=2/3.,

参考:
设A和B在左准线上射影分别为C和D，|FB| = x，
然后作BT⊥AC于T，则有：|AT| = |AC| - |BD| = x/e
而|AB| = |AF| + |BF| = 3x，而在直角三角形ABT中有：
|AT| = |AB|cos 60°，即有x/e = 3x/2。
所以离心率e = 2/3。

Answer 2

设A（x1,y1),B(x2,y2)由题意得：y1/y2=-2 y2/y1=-1/2
-2-1/2=y1/y2+y2/y1=(y1平方+y2平方)/y1y2=(y1+y2)^2/y1y2-2
(y1+y2)^2/y1y2=-1/2
直线：x=√3/3y-c与椭圆联立化简得：（1/3a^2+1/b^2)y^2-2√3cy/3a^2+c^2/a^2-1=0
用韦达定理得e=2/3