在一点处左右导数都存在一定连续吗？

Question

如题所述

Answer 1

该点有定义，则为正确。当左右导数不相等的时候也可以连续。比如y=|x|在x=0这一点，答案是肯定的。是正确的。

相关如下

（因为单边导数要求该点和单边邻域连续，而左右导都存在，故两边连续。可严格用N-以普西龙语言证明）。

若该点无定义，则为假命题。依然上述函数，x=0点无定义，则为假。

不一定，必须保证在左右导数存在并且相等的情况下，该函数才连续。

左右导数都存在 左导数存在：lim（Δx->-0）[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=A f(x0-0)=f(x0) 右导数存在：lim（Δx->+0）[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx=B f(x0+0)=f(x0) lim(x->x0)f(x)=f(x0) 【函数在某点的左右导数都存在，则在该点连续】。

Answer 2

在一点处左右导数都存在，并不一定意味着函数在该点是连续的。导数的存在性表示函数在该点两侧的变化率存在且有限，而连续性则要求函数在该点的取值与其左右极限相等。因此，导数存在并不一定导致函数的连续性。
首先，我们来解释左右导数的概念。对于函数f(x)，其在x=a处的左导数（记作f'(a-)）表示x趋近于a时，函数f(x)在a的左侧的变化率。类似地，右导数（记作f'(a+)）表示x趋近于a时，函数f(x)在a的右侧的变化率。
对于函数在一点处左右导数都存在的情况，可以将问题分成两种情况讨论。
情况一：左右导数存在但不相等。这种情况下，函数在该点处不存在斜率，因为左右导数不相等意味着函数在该点处左右两侧的变化率不同。这导致函数在该点处存在跃变或断裂。
情况二：左右导数存在且相等。在这种情况下，函数在该点处的左右变化率相等，但这并不能确保函数在该点处是连续的。函数在该点处仍然可能存在垂直跃变或锐角，从而导致函数在该点处不连续。
总结起来，左右导数的存在性只说明了函数在该点处的变化率有限，但并不保证函数在该点连续。函数的连续性需要额外的条件，即函数在该点处的取值等于其左右极限。因此，在一点处左右导数都存在，并不意味着函数在该点是连续的。