第1个回答 2013-09-09
代数不等式的解法�6�1例题
例5-3-1 解不等式16x+x4-x5＜16。
解 原不等式可同解变形为
x5-x4-16x+16＞0。
左边分解因式，得同解不等式
(x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)＞0
用数轴标根法，得不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞2}。
注 解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集。
例5-3-2 (1)已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为(-∞，α)∪(β，+∞)。求ax2+bx+c＞的解集，并说明b的取值范围a，c的关系；
(2)若a＜0，解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b2＞0。
解 (1)由题设知，a＜0。所以，
(x-α)(x-β)＜0
由此可知，当α≠β时，不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|α＜x＜β}；当α=β时，不等式无解。
又由题设a＜0，且b2-4ac≥0，即b2≥4ac。因此，当c≥0时，有4ac≤0，这时b可取任意实数；当c＜0时，则4ac＞0，这时
(2)由于a＜0，从而a-1＜0，故所给不等式同解于
若b=0，此不等式即为x2＜0。这时无解；
解集为
注 解一元二次不等式时，应充分利用二次函数的图象，通过形数结合，提高解题的速度。
解 [法一] 移项、化简，原不等式同解于
(x+1)x(x-1)(x-3)＜0
由下图可知，原不等式的解集是
{x|-1＜x＜0或1＜x＜3}
[法二] 原不等式同解于不等式组
故(Ⅰ)的解集为{x|1＜x＜3}；(Ⅱ)的解集为x|-1＜x＜0。从而所求解集为
{x|1＜x＜3}∪{x|-1＜x＜0}={x|1＜x＜3或-1＜x＜0}
注 将不等式同解变形为不等式组时，要注意区分解集的“交”、“并”关系。
例5-3-4 解下列不等式：
解 (1)原不等式同解于不等式组
解不等式组(Ⅰ)，得0＜x＜1，(Ⅱ)无解。故原不等式的解集是
{x|0＜x＜1}
(2)令t=x2-x，则原不等式化为
此不等式的允许值集确定于不等式组
另一方面，不等式(i)可化为
注 解含根式的不等式，关键在于去掉根号，使之化为有理不等式。去掉二次根号的常用方法是平方法，有时也采用变量代换的方法或配成完全平方的方法。无论采用哪种方法，都要注意转化的同解性。
例5-3-5 解下列不等式：
解 (1)原不等式可化为
(2)原不等式的允许值集为{x|x≥3}。原不等式可化为
两边立方，得
化简并整理后即为
解前一不等式组得x＞4；后一不等式组无解。故原不等式的解集为{x|x＞4}。
例5-3-6 解关于x的不等式：
当a＜0时，由(i)得t＞1-a＞0，即
当a=0时，(i)无解；
于是，
当a≥1时，(i)无解。
综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为
当a=0或a≥1时，原不等式无解。
注 本例既涉及变量代换，又涉及参数的讨论，综合性较强，但并不需要高超的技巧，按常规方法即可解决。关键是变量代换，难点是严
间，要认真领会。