设f(x)是[0，1]上的连续函数且f(x)=x^2 +不定积分(下限0，上限1)∫xf(x)dx

Question

求不定积分(下限0，上限1)∫f(x)dx。如下图

Answer 1

解：因为定积分∫(0,1)xf（x）dx是一个常数，因此设C＝∫(0,1)xf(x)dx
∴f（x）＝x∧2＋C.①
两边同时取定积分（上限1，下限0），得
∫(0,1)f(x)dx＝∫(0,1)x∧2dx＋∫(0,1)Cdx
∴∫(0,1)f(x)dx＝1/3＋C.②
对①式两边同乘以x，得，
xf(x)＝x∧3＋Cx
两边再次同时取定积分∫(0,1)，得
∫(0,1)xf(x)dx＝∫(0,1)x∧3dx＋∫(0,1)Cxdx.
∴C＝1/4＋C/2
∴C＝1/2.，带入式，得
∫(0,1)f(x)dx＝1/3＋1/2＝5/6.

Answer 2

两边同乘x
xf(x)=x^3+x(下限0，上限1)∫xf(x)dx
令F(x)=xf(x)
F(x)=x^3+x(下限0，上限1)∫F(x)dx
令(下限0，上限1)∫F(x)dx=C
F(x)=x^3+Cx
对F(x)从0到1积分
C=1/4+1/2C
C=1/2
F(x)=x^3+1/2x
f(x)=x^2+1/2
对f(x)从0到1积分得5/6