两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明？ 谢谢

Question

两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明？ 谢谢

Answer 1

首先这里的公共根要包含虚根, 否则有反例, 如f(x) = g(x) = x³-2.

设f(x)与g(x)是两个有理系数多项式, 并有公共的无理根α.
考虑f(x)与g(x)的最大公因式, 设为d(x), 不妨设d(x)首项系数为1.
有一个定理说: 存在有理系数多项式u(x)与v(x), 使u(x)f(x)+v(x)g(x) = d(x).
于是由α是f(x)与g(x)的公共根, 可知α也是d(x)的根.

若d(x)只有α一个根(不计重数), 则d(x) = (x-α)^k, k ≥ 1 (已设d(x)首1).
由d(x)为有理系数多项式, 其k-1次项系数-kα为有理数, 于是得到α为有理数, 矛盾.
故d(x)有α以外的根, 即存在β ≠ α, 使d(β) = 0.

而d(x)是f(x)与g(x)的公因式, 因此d(x)的根同时是f(x)与g(x)的根.
所以β也是f(x)与g(x)的公共根, 即f(x)与g(x)有α以外的公共根, 证毕.

可以看到三次的条件是可以去掉的, 而整系数条件可减弱为有理系数.

有疑问请追问.

Answer 2

整系数三次多项式如有一个无理根，这必有另一个共轭的无理根。
所以两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根追问

为什么一定有那个共轭的无理根 这个怎么证明？

追答

整系数三次多项式必能分解成一个整系数一次因式和一个整系数二次因式，而整系数二次因式若有无理根则必共轭，这可由求根公式可知。

追问

整系数三次多项式必能分解成一个整系数一次因式和一个整系数二次因式 这个怎么来的？

追答

整系数多项式因式分解定理，你网上找一下就知道。

追问

如果这么说 岂不是整系数多项式必定有一个整数根？

追答

只有奇次的才一定有一个有理根。不一定是整数根。

追问

x^3=2 分解为（x-三次根号2）（x^2+三次根号2*x+三次根号4） 这显然不对
？

追答

哦，我搞错了，应是以下知识：

http://baike.baidu.com/view/613580.htm
当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。 　

当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。
你谈的知识只对整系数一元二次方程有用。学习了！