三角形ABC, 角A等于90度,角C等于70度。F为AB上一点,且角ACF等于30度。E为AC上一点,且角CFE等于20度。连接BE,求证:BE平分角ABC。
要求用中国初中毕业的数学知识解决
先给50分,如果做得好之后再加50
作<BCF的平分线,交AB于D,作DG⊥BC,交BC于G,
∵<FCA=30°,
<BCA=70°,
∴<FCB=40°,
∴<BCD=20°,
∵<EFC=20°,
∴EF//CD,(内错角相等,则二线平行),
∴AE/EC=AF/DF,
∵<ACF=30°,
∴AF=CF/2,,(RT△30度所对边是斜边的一半).
∴AE/CE=(CF/DF)/2,(1)
<B=180°-<A-<BCA=20°,
∴△DBC是等腰△,
∴BD=CD,
∵CD是<BCF的平分线,
∴CF/BC=DF/BD,(角平分线定理),
CF/DF=BC/BD(更比),(2)
对比(1)和(2),
AE/CE=(BC/BD)/2,
∵DG也是等腰△DBC的中线,
∴BC=2BG,
∴AE/CE=2BG/(2BD)=BG/BD,
∵<BGD=<BAC=90°,
<DBG=<CBA,(公用),
∴△BDG∽△BCA,
∴BD/BC=BG/AB,
BG/BD=AB/BC,
∴AB/BC=AE/CE,(等量代换),
根据三角形角平分线逆定理,
∴BE是<ABC的平分线.
追问抱歉,有个地方没明白,为什么AE/CE=BG/BD能作为相似的条件?
追答这里不是条件,由(1)式和(2)式对比,AE/CE=(BC/BD)/2=(BC/2)/BD=BG/BD,
又∵△BDG∽△BCA,
∴BG/AB=BD/BC,
∴BG/BD=AB/BC,(更比),
∴AE/CE=AB/BC,
三角形角平分线定理:角平分线把对边分成两线段之比等于其所夹角的邻边之比,
逆定理,若直线所分二线段之比等于所夹角邻边之比,则此直线是该角的平分线.
哦哦,看错了,我说的嘛,嗯,不错,真的不错,十分巧妙的辅助线。
采纳是肯定的了,而且再给您加50.
不过最后再问下,您是如何想到这种做法的?
当然用到高中知识肯定可以少费些脑子,直接套公式计算即可,平面几何虽然是初中知识,但有些题目即使是研究生也很难解决,这里要解决角度相等的几何题,在角度无法找出关系时,只能借助相似比例关系来解决.
我偶尔路过,若能助君一点儿微小之力也是我的容幸.
唔,抱歉,能不用三角函数和解析法吗?
追答你这题确定是初中题目吗?
个人认为给你这样一个明确但是不一般的角度,应该就是希望用上三角转换的。
其他的我再想想好了。
这个不是初中题目,是竞赛题,但是是加拿大高中竞赛,也就相当于国内初中毕业的知识水平,他们肯定不会学这样子的三角函数。
个人感觉做几条辅助线应该能做出来,可是试了两天还没出结果,所以上来求助。
抱歉我想问下为什么要用到绝对值?
过程应该是没有问题,倒角倒得不错。
其实不用绝对值也行啊,-50°的角和50°的角其实也一样的,都能说明是角平分线