椭圆 直线

Question

如题所述

Answer 1

分析：（1）将直线的方程与椭圆C的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据△≥0得m的取值范围，最后根据函数的值域求出|EF1|+|EF2|取得最小值及此时椭圆的方程即可；（2）设两点设A（x1，y1）、B（x2，y2），中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+m，先将A，B两点的坐标代入椭圆方程，两式相减得Q（x，y）的轨迹方程，求得点Q的坐标，最后根据NQ•AB=0即可的取求出k的值范围．
解答：解：（1）将y=x+2代入x²+（m+1）y²-m-1=0中
得：（m+2）x²+4（m+1）x+3（m+1）=0，
∴△=16（m+1）²-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，又m≥1，
∴m≥2．
∴m=2时|EF1|+|EF2|=2√﹙m+1﹚取最小值2√3．此时椭圆的方程为x²/3+y²=1．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+m，
代入椭圆的方程：x²+3y²-3=0中得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0．
∴△=36k²m²+12（1-m²）（3k²+1）=12（3k²+1-m²）＞0，
即3k²+1-m²＞0①
且﹙x1+x2﹚/2=- 3km/﹙3k²+1﹚，﹙y1+y2﹚/2=k•﹙x1+x2﹚/2+m=m/﹙3k²+1﹚．
即Q(-3km/﹙3k²+1﹚，m/﹙3k²+1﹚)．
又NQ•AB=0，
∴kNQ=-1/k，直线NQ的方程为y=-1/k x-1．
∴m/﹙3k²+1﹚=(-1/k)(- 3km/﹙3k²+1)-1，化简得：m=﹙3k²+1﹚/2②
由①②得：k²＜1，
∴存在适合条件的直线l，其斜率k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量数量积的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．

有疑问可以追问哦，，。，。