关于三重积分一种题型问题

Question

题目：求三重积分∫∫∫z2 dxdydz，积分区域为椭球面x2/a2+y2/b2+z2/c2=1所围成区域
那是书上的题目有解答过程了，利用先计算一个二重积分再计算一个定积分，但有一步没看懂，就是∫∫∫z2 dxdydz=∫（-c到c）dz∫∫（积分符号下面是Dz)dxdy=πab∫(-c到c)(1-z2/c2)z2dz 1.这里面为什么 ∫∫(下面是Dz)dxdy=πab(1-z2/c2) ？ 我打的括号是解释说明可以遮掉别看，2能再解释下1-z2/c2的几何意义吗

Answer 1

看上去像是椭球里的区域定积分计算，你在好好想想，我大概知道了，可惜你没想到用另一中方式来表达你想表达的，所以，多多少少会让人看见了也不想来帮你。我说小兄弟，你就不能拍张照么？！追问

那我贴个图

追答

其实你想问的是，被积函数怎么会变成(1-z^2/c^2)*z^2是吧？

呵呵，这题我学的时候也懵了一下，没有深究，现在晃的一下好真不好办。
我知道了！你看一下你这张图上面例一的最后一段，那个公式就说明了一切，我也是今天仔细看以你这张图才知道，真是教学相长啊，谢谢了！
因为在z 轴上的截面，都是关于x,y的函数，所以，面积是一个二元一次函数，S=3.14*ab（1-z^2/c^2）,3.14*ab可以提前，所以你有此一问了。
记住，被积函数是每一个截面的面积都不同。