用截面法求三重积分范围是x^2+y^2-z^<=1,-1<=z<=1,被积函数是x+y+z^2,麻烦尽快，感谢了

Question

上面题目里范围里在z^后面少了个2，应该是z^2

Answer 1

∫∫∫(x+y+z^2)dxdydz=∫[0,2pi]dt∫[-1,1]dz∫[0,√(1+z^2)](rcost+rsint+z^2)rdr
=∫[0,2pi]dt∫[-1,1] [r^3/3(cost+sint)+r^2/2*z^2)[0,√(1+z^2)]dz
=∫[0,2pi]dt∫[-1,1] [(1+z^2)^(3/2)/3(cost+sint)+z^2(1+z^2)/2]dz
=∫[0,2pi][(cost+sint)(7√2/12-ln(√2-1)/4)+8/15]dt
=16/15* π追问

我希望是用截面方法，一般的方法和极坐标或是球面坐标方法我自己已经能够解决了，但是截面法不知道怎么处理

追答

截面法，先考虑：由于对称性，∫∫∫(x+y)dxdydz=0，只用考虑被积函数z^2的三重积分就可以了。这样就可以对z截面了。
∫∫∫(x+y+z^2)dxdydz=∫∫∫z^2dxdydz
=2π∫[0,1]z^2(1+z^2)dz
=2π(z^3/3+z^5/5)|[0,1]
=16/15* π