线性代数证明

Question

证明：若矩阵的每行和每列相加都等于零，那么它的伴随矩阵的每个元素都相等

Answer 1

将行列式中第一行的元素替换为 1,1,0,...,0
所得行列式D一方面按第1行展开得 A11+A12
另一方面, D将所有列加到第1列,再按第1列展开,得 2A11
所以 A11+A12=2A11
所以 A11=A12
同理得 A11=A12=A13=...=A1n
同样处理列,得 A11=A21=A31=...=An1

同样处理第k行得 Akk=Akj=Aik, i,j=1,2,...,n
所以 A* 的所有元素都相同.追问

“将行列式中第一行的元素替换为 1,1,0,...,0” 为什么可以这样替换？

追答

(1) 这个行列式与原行列式第一行元素的代数余子式相同
(2) 按第1行展开得 A11+A12
目的是先证明 A11=A12

追问

您真是太厉害了。。。您说实话这题难么？我想了很久都不知道这个行列相加得0该怎么用。。。哎。。。。

追答

之前我没见过这个结论
想好再打出来竟超过了15分钟
应该算比较难

追问

方法实在是不常规啊。。。谢谢您了！！！！！

来自：求助得到的回答