如果是循环群,显然是Z4。
因此G={e,a,b,ab}因为a和b都为2阶,a-1和b-1都是他们本身,因此这个假设是合理,因为ab必须要在这个群的内部(封闭性)。
而ba也要在里面,因此ba肯定等于里面三个的其中一个。
如果ba=a,则b=e.如果ba=b,则a=e.都矛盾.如果ba=e,则a=b-1=b.矛盾。
因此ab=ba,同构于Klein。
含义
由于群之间的同构关系具有反身性、对称性和传递性,故这个定理告诉我们,凡无限循环群都彼此同构,凡有限同阶循环群都彼此同构,而不同阶的群,由于不能建立双射,当然不能同构。这样抽象地看,即在同构意义下,循环群只有两种,即整数加群和模n的剩余类加群。