过坐标原点作曲线y=e^x的切线,该切线与曲线y=e^x及x轴围城的向x轴负向无限延伸的平面图形记为D,

Question

求D绕直线x=1旋转形成的旋转体体积，答案中是V=π积分从0到e [（lny）^2-2lny+2y/e-y^2/e^2]dy,这个括号里的被积函数是怎怎么求的？

Answer 1

首先求出切点坐标,y'=e^x,
设切点为P(x0,y0),经过( 练x0,y0)切线方程:y/x=e^x0,
e^x0/x0=e^x0,
∴x0=1,y0=e,
∴P(1,e),
切线方程为:y=x/e, x=y/e,
因是求绕x=1的旋转体积,
它是由y=e^x曲线,即x=lny至x=1的距离的平方乘以π,减去x=y/e至x=1距离平方乘以π定积分得到,
这是广义积分,x趋近负无穷时,y趋近0,
∴V=lim [t→0] π∫ [t, e] [(1-lny)^2-(1-y/e)^2]dy

Answer 2

关键是
∫(0,e] （lny）^2dy
用分步积分
=y（lny）^2(0,e] -∫(0,e] 2lnydy
现在看
lim(y→0) y（lny）^2
=lim(y→0) （lny）^2/(1/y) (∞/∞)
=lim(y→0) 2lny/(-1/y) (∞/∞)
=lim(y→0) 2/(1/y)
=lim(y→0) 2
=0
会了吧？追问

其实我是想问那个被积函数是怎么得来的，不是问的是怎么往下计算

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Answer 3

积分 π( R1平方-R2平方)

y=ln x1 => x1=e^y
R1^2=(1-x1)^2

y=e*x2 => x2=y/e
R2^2=(1-x2)^2

R1平方-R2平方 = 。。。。。。

即得到结果