很简单的高数极限题

Question

如题所述

Answer 1

1、根据麦克劳林公式：
sinx=x-(1/6)x^3+o(x^4), 代入上式：
原式=lim[1-(1/6)x^2+o(x^3)]^(1/x^2)
为了便于观察，设t= - (1/6)x^2+o(x^3), 可知：x→0, t→0
原式=lim(1+t)^(1/x^2)
=lim(1+t)^[ (1/t) (t/x^2) ] ←利用重要极限lim(1+t)^(1/t)=e 其中 t→0
= lime^( t/x^2 ) ← 代入t的值
=lime^[- (1/6)+o(x)]
=e^(-1/6)

2、原式=lim(x→0)【e^sinx[e ^(x-sinx)-1] 】/(x-sinx)
根据当x→0时，e^x -1 ∽ x
所以e^(x-sinx)-1∽(x-sinx), 此处(x-sinx)→0
所以原式=lim(x→0)(e^sinx)=1

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