A^k的特征值怎么求

Question

A的特征值是λ,为什么A^k的特征值是λ^k呀？怎么求的？
这个算定理吗，考试的时候直接拿来用，还是要证明？

Answer 1

当作定理来吧
(A^k)x=A^(k-1)(Ax)=A^(k-1)(λx)=λA^(k-1)x=λA^(k-2)(Ax)=...=(λ^k)x
除此以外：
A+B 特征值 λ+v
AB 和 BA 有相同的特征值
A+aE 特征值 λ+a E为单位阵本回答被提问者采纳

Answer 2

λ是矩阵A的特征值，并取λ的一个特征向量，记为x
则
(A^k)x=A^(k-1)(Ax)=A^(k-1)(λx)=λA^(k-1)x=λA^(k-2)(Ax)=...=(λ^k)x
从而λ^k是A的一个特征值，并且有特征向量x