椭圆方程出现xy项怎么办

Question

如题所述

Answer 1

我引用我之前回答过的一个问题

有xy项，说明这个椭圆的长短轴不在x轴或y轴上，这时候可以转化成极坐标方程，下面举个例子：

2x^2+2xy+y^2=1

令x=rcost，y=rsint

2r^2cos^2t+2r^2costsint+r^2sin^2t=1

r^2*(1+cos^2t+2costsint)=1

r^2*(3+cos2t+2sin2t)=2

r^2*{3+√5*cos[2t-arccos(1/√5)]}=2

r^2=2/{3+√5*cos[2t-arccos(1/√5)]}

比较椭圆的极坐标标准方程：r^2=2/[(a^2+b^2)/(a^2b^2)+(b^2-a^2)/(a^2b^2)*cos2t]

得到：

①(a^2+b^2)/(a^2b^2)=3

②(b^2-a^2)/(a^2b^2)=√5

解得：2a=√5-1，2b=√5+1

即椭圆2x^2+2xy+y^2=1是将y轴上的长轴为√5+1、x轴上的短轴为√5-1的标准椭圆逆时针旋转(1/2)*arccos(1/√5)所得

Answer 2

出现xy交叉项是因为坐标轴不是长轴跟短轴
xy是导致二次曲线旋转的项
比如xy=1
这就是个旋转过的双曲线
y=x+1/x
x^2-xy+1=0
这个也是
大概就是这样

Answer 3

出现xy交叉项是因为坐标轴不是长轴跟短轴
xy是导致二次曲线旋转的项
比如xy=1
这就是个旋转过的双曲线
y=x+1/x
x^2-xy+1=0
这个也是
大概就是这样