第一步:连接好AP先!!
证明△BMA∽△CNA,理由∠ABM=∠NCA=20°,∠BAC=∠BAC
所以AB:AC=BM:CN=AN:AM
证明△BNP∽△CMP,理由∠ABM=∠NCA=20°,∠NPB=∠MPC
所以 BN:CM=NP:PM=BP:CP(以上过程不规范,自己搞定啦)
∵AB-BN:AC-CM=AN:AM
又∵AN:AM=AB:AC
∴AB-BN:AC-CM=AB:AC
∴ BN:CM=AB:AC
∵BN:CM=NP:PM
∴NP:PM=AB:AC=AN:AM(貌似行,毕业以后我都忘记了)
∵在△BCM中,∠ABC+∠NCB=50°
∴外角ANC等于50°
同理,∠AMP=50°
∴∠AMP=∠ANC=50°
∵NP:PM=AN:AM
∴NP:AN=PM:AM
在△ANP与△AMP中
NP:AN=PM:AM,∠AMP=∠ANC
∴△ANP∽△AMP
∴AN:PN=AP:AP=1
∴AN=PN
追问非常谢谢你。但是AB:AC=BM:CN=AN:AM不对啊。三角形APN和三角形AMP不可能相似。如果角APN=角PAN,AN就与PM平行。如果角NAP=角MAP,那么AP就是角平分线。P就是重心,那么CN也是角平分线。
非常谢谢你 但是三角形APN和三角形AMP不可能相似
追答利用正弦定理证明∠APM=50°(当然别的方法也行),然后推得到AC=CP
最后根据MP/BP * BN/NA * AC/CM =1,从而有PM=AN
如果∠APM=50°,那么角PAM=80度,角PAN=30度。三角形APN和三角形AMP不可能相似
追答确实不相似啊……这个证明和这两个三角形是否相似也没有关系……
追问如何利用正弦定理证明∠APM=50°,这个很关键。谢谢。
追答注意在△APB 和△APC中,AP均对应一个20°的角,所以外切圆直径相等
那么AB 和 AC 对应的角分别是∠APB 和 ∠APC
同时在△ABC中, AB 和AC 对应的角分别是 30°和 40°
利用等比例关系可以构造方程
最后计算得到∠APM的正切值,反正切得到是50°