函数极限及函数有无界的问题

Question

函数存在极限，那函数一定有界。
函数有界，但是函数不一定有极限。
那是否意味着以下结论：
函数无界 则函数极限不存在，并且把这种称作极限是无穷大。
函数极限不存在是否 函数就无界？
希望能否举例说明，十分感谢。因为被这个概念搞晕乎了。自学高数，求大虾相助。

Answer 1

你的推论思路方向正确，但是考虑不完善所以结论不对，应该这么说：

函数无界 则函数极限不存在，但不能说是无穷大，无穷小也是一种情况，因此只能说

函数无界 函数极限不存在

第二个结论是错误的，很容易找到反例，f={1，-1,1，-1,1，-1......},因为该函数为1，-1交替的函数因此不存在极限，但存在sup（f）即最小上界为1，最大下界inf（f）为-1，因此该函数有界但却不存在极限。追问

无穷小 不是有极限的吗 极限为零啊 汗。无穷小就这个概念极限为零。无穷小不是存在极限吗？

追答

不好意思我表达错了，是负无穷，即函数无下确界。函数有界的定义是必须上下都有界。

追问

无穷大 包含负无穷大 和正无穷大。函数无界 则函数极限不存在，并且把这种称作极限是无穷大，那这句话是对还是错？
以下我赞同：
第二个结论是错误的，很容易找到反例，f={1，-1,1，-1,1，-1......},因为该函数为1，-1交替的函数因此不存在极限，但存在sup（f）即最小上界为1，最大下界inf（f）为-1，因此该函数有界但却不存在极限。

追答

应该是错误的，因为函数无界，函数极限未必不存在，例如f(x)=1/x，它在定义域上是无界的，但它的极限存在。极限是对于定义域上某一点之后的所有点来说的，是一种趋势，也就是说这一点之后的所有点都会在以极限为球心的开球内，而有没有界是对整个定义域来说的，只要由某一点或者定义域上某一段的函数值无穷大，那么该函数就无界。