函数是否连续，导数是否存在？

Question

如题所述

Answer 1

函数的左导数存在得出左连续，而右导数存在得出右连续。于是就可以由函数在该点处两侧均单侧连续的条件得到函数在该点一定是连续的。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

单调性：

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。

导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。

对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

以上内容参考 百度百科—导数

Answer 2

要判断一个函数是否连续，需要满足以下条件：
1. 函数在该点存在。
2. 函数在该点的左极限和右极限存在。
3. 函数在该点的左极限等于右极限，即两边的极限值相等。
如果以上条件都满足，那么这个函数在该点是连续的。
要判断一个函数在某一点是否可导（导数是否存在），需要满足以下条件：
1. 函数在该点连续。
2. 函数在该点的左导数和右导数都存在，并且相等。
如果以上条件都满足，那么这个函数在该点可导。
需要注意的是，连续性和可导性是两个不同的概念。一个函数可以是连续的但不可导，也可以是可导的但不连续。因此，我们需要分别判断连续性和可导性。