数列An为等差数列……（命题关系问题）

Question

数列An为等差数列……
则……
甲：m+n=p+q……
乙：Am+An=Ap+Aq……
甲是乙的什么条件？

Answer 1

甲是乙的充分不必要条件。

充分性
证明：已知｛An｝是等差数列，则设首项为a1,公差为d.
等式右边：Am+An=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d;
同理可推出左边：Ap+Aq=2a1+(p+q-2)d;
又m+n=p+q;a1,d均为常数， 故右边=左边，题设成立。故甲是乙的充分条件

必要性
若an=0,那么就不能由Am+An=Ap+Aq得到m+n=p+q，故甲是乙的不必要条件。

综上：甲是乙的充分不必要条件。

Answer 2

充要条件