高数。计算三重积分分三步求的时候。∫的上下。什么时候用具体的数，什么时候用含有其他产量的函数啊？

Question

高数。计算三重积分分三步求的时候。∫的上下。什么时候用具体的数，什么时候用含有其他产量的函数啊？如图。z的范围为什么不可以(0，4)非要(σ∧2，4)

Answer 1

添加平面∑1：z＝h (x^2+y^2≤h^2)，取上侧，则∑与∑1组成一个封闭曲面，方向是外侧，三个偏导数都是0，所以由高斯公式，积分是0。
所以，
∫∫(∑)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
＝－∫∫(∑1)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
＝－∫∫(∑1)(x^2-y)dxdy
＝－∫∫(D)(x^2－y)dxdy ∑1在xy面上的投影区域D：x^2+y^2≤h^2
＝－∫∫(D) x^2 dxdy
＝－1/2 ∫∫(D) (x^2+y^2)dxdy
＝－1/2 ∫0→2π dθ ∫0→h ρ^3 dρ＝－πh^4/4