在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1

Question

在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）直接填写： = ，b= ，顶点C的坐标为 ；（2）在 轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

Answer 1

（1） ，顶点C的坐标为（-1，4） （2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CE⊥y轴于点E. 由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1. 又∵∠CED="∠DOA" =90°， ∴△CED ∽△DOA，∴ . 设D（0，c），则 . 变形得 ，解之得 . 综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1）， 使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.  （3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH. 延长CP交x轴于M，∴AM=CM， ∴AM 2 =CM 2 . 设M（m，0），则( m+3) 2 =4 2 +(m+1) 2 ，∴m=2，即M（2，0）. 设直线CM的解析式为y=k 1 x+b 1 ， 则 ， 解之得 ， . ∴直线CM的解析式 . 联立 ，解之得 或 (舍去).∴ . ②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH. 过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N. 由△CFA∽△CAH得 ， 由△FNA∽△AHC得 . ∴ , 点F坐标为（-5,1）. …………………………………10分 设直线CF的解析式为y=k 2 x+b 2 ，则 ，解之得 . ∴直线CF的解析式 .  联立 ，解之得  或  (舍去). ∴ . ∴满足条件的点P坐标为 或

（1）将A（-3，0）、B（1，0），代入y=ax 2 +bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可； （2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边 的直角三角形． （3）首先求出直线CM的解析式为y=k 1 x+b 1 ，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P 在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．