必修1《2.2 一次函数和二次函数的性质与图像》教学中例题和习题的使用及分析
北京市首都师范大学附属中学 杜君毅
必修一中的2.2一次函数与二次函数一节的设计是B版教材的一个重要特色，同时也是体现B版教材注重初高中过渡的标志性内容之一。在使用教材的教学实践活动中，我认为在例题和习题的设计上做些改动，可能更有利于实现该内容在高中数学学习中的价值和作用。下面是我的一点不成熟思考，望与各位同仁交流探讨。
1 对本小节教与学的基本认识：
1.1.教学内容的分析
1.1.1数学上的分析
一次函数、二次函数作为一种简单而基本的初等函数,不论在初中还是高中都非常重要,也是初高中具体数学内容中联系最密切的内容.
一方面，在现实生活中，一次函数和二次函数是一类重要的函数模型，所以在初中就学习了这两个函数，但主要是在“看”的层面进行研究与认识。在高中阶段，一次函数与解析几何中直线方程有密切联系，二次函数是理解映射角度下的函数概念、函数单调性、奇偶性等概念的重要函数模型；二次函数是解决具有轴对称性的函数的具体模型示例；二次函数还是揭示函数、方程、不等式三者联系的恰当且重要的载体（难易适中）；此外，在中学阶段，利用导数工具研究函数的过程中，大量函数的导函数的符号往往与二次函数的符号有关，因此它又是利用导数工具解决有关函数单调性、最值和极值等问题的知识基础。
由于二次函数使学生初中就已经学习的函数，在高中阶段再次学习二次函数，主要突出对函数研究方法的不同，初中阶段主要是在“看”的层面，从形象直观的角度去认识，而在高中阶段，突出从函数解析式的代数特征进行抽象分析来研究了解认识函数的性质，从而更全面的认识和理解描点作图与函数解析式分析两种途径，在研究函数图象性质方面的互补性。
在分析二次函数解析式结构特征的过程中使用的配方法，是重要的代数变形技巧，这一技巧在今后的解析几何中还会有应用，而且从解析式代数结构特征来分析图像性质，也为今后解析几何中由曲线的方程代数特征研究分析曲线的几何特性，在技能和思想上做了一定的铺垫与渗透。
而就其在高中数学中的这些作用而言，在基本初等函数中，一次函数和二次函数是非常好的载体之一。
1.1.2教育分析
初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。高中数学知识广泛，是对初中的数学知识推广和引申，也是对初中数学知识的完善和升华。在学习方法上、自学能力上、思维习惯上，都对高中学生有了较高的要求。但是高一学生昨天还是初中生，今天就是高中生；知识昨天是初中教材，比较容易、简单，高一一开学，就是高中教材，变得抽象难懂。台阶太高，缺少一个缓冲过渡，学生进入高中后，很多学生很快就表现出对于高中数学学习的不适应，二次函数就是一个很好载体让学生体会初高中学习内容和学习方式的区别与联系，实现初高中的衔接。
1.2教学目标的确定
1.2.1教学目标
①以一次函数、二次函数这两个重要函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法。通过这两个函数的复习与提高，沟通初高中数学内在联系，实现平稳过渡。
②突出数形结合思想，进一步理清函数解析式的代数特征与函数图象形的特征的联系，如：一次函数参数的几何含义，二次函数中参数对图像的影响；进一步提升运算水平，如：二次式的配方、分解，方程组求解（待定系数求解析式）；进一步提高学生联系的观点看数学，如：一次函数、二次函数与一次方程、二次方程和一次不等式、二次不等式之间的联系。
③加深对函数符号的理解，认识函数符号语言在进行数学表述方面的作用。
④在一次函数与二次函数性质的阅读、交流学习中，获得温故而知新的快乐。
1.2.2重点、难点：
本小节重点是认识研究函数的一般方法，理解数与形的联系；代数运算技能；方程、不等式、函数之间的联系。
本小节难点是理解并运用数与形的联系，函数符号语言的理解与运用。
1.3 对一次函数和二次函数教学的学情分析
一次函数和二次函数的图像及性质是中考的核心重点内容，经历初三备考的洗礼，学生从知识上来讲，对一次函数和二次函数掌握是很很好的。但是从对函数概念和图像性质的理解与认识来讲，是有缺陷的。从函数解析式来分析函数性质，对于学生来讲是比较困难的。一方面，以前研究图像基本是在看图说话的层面，另一方面，学生对配方的运算在初中训练是不够，代数运算变形的技能还打不到熟练的程度。学生在初中虽然对函数在坐标下的图象有所认识，但是对函数解析式和图像间的联系的认识还需要逐步加深。因此，学生对一次函数和二次函数要达到高中的学习要求，并不是毫无障碍，因此这需要教师做适当的引导、启发和讲解。
1.4教学方法和教学手段的选择
好的数学教学应该是从学习者的生活经验和自己的知识背景出发，提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会，使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识、思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。学生应该是学习的主人，教师的作用在于成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同学习研究者。
因此本节课主要采取启发式的探究，即通过问题串的设计，实现引导、启发学生的课下“自主”学习活动，通过课上的质疑、交流讨论、释疑等活动，逐步使学生思维走向深刻，促使学生对“二次函数图像的性质及应用”、“研究函数的一般方法和应用”的认识和理解达到一个更高的层面.
2教学过程的设计
2.1 教学活动的设计
1.课前安排：
课前自己阅读本节内容，并尝试思考回答自学提纲上的问题，对不能解答和阅读中产生的疑问，进行标记或记录。
2.课上的交流与讨论：
教师要求学生按照阅读提纲上的问题顺序汇报自己的思考结果，其他学生给予评价，教师做适当点评和补充（以激励和表扬为主）。
3.课堂练习：
在处理完自学提纲上的问题后，让学生进行实践练习，检验、巩固、补救所学知识、方法和所悟思想。
2.2课前准备（阅读学习问题串的设计）
2.2.1问题选择和设计的原则
1.有助于学生在温习初中二次函数的同时,能够对二次函数的认识和理解有所延伸和提高；
2.有助于学生以具体二次函数解析式和函数图象为载体认识理解运用抽象函数符号语言进行表述；
3.有助于学生从实践操作过程中认识、领悟研究函数的一般思想和方法；
4.有利于学生在问题的思考与探索中感受数学思维的神奇力量和价值；
5.能满足优秀学生学习探索的欲望。
2.2.2自学提纲上问题设计及意图
问题1：请依据一次函数解析式，指出一次函数图像的基本性质（定义域、值域、单调性、奇偶性），并说明参数对一次函数图象基本性质的影响。
【设计意图】
问题2：一次函数的图像为什么是一条直线？如何理解“倾斜程度”一词？斜率的变化是怎样反映直线的倾斜程度的？
【设计意图】
问题3：(练习A-5)下列函数在什么范围内取值时，？
（1） （2）
【设计意图】
问题4：阅读课本例1，思考如下问题：
1.例题的分析过程中第（1）步配方获得顶点与第（2）步解方程获得图像与轴交点对第（3）步取值列表是多此一举还是意义深远？请比较分析“由函数解析式的抽象分析获得图像的认识”与“由列表、描点作图获得对函数图象的直观认识”两种途径，尝试阐述两种途径对研究函数图像性质的各自作用和意义。
2.例1的第（3）步列表、描点、作图的依据是什么？即，为什么这样取值得到的点就是函数图像上的点？
3.如何理解例1的第（4）步证明图像关于对称的过程？该过程中所取的不限制是否可以？反之，如果一个函数对于定义域内任意都满足满足，函数的图象具有怎样的性质？如何给予解释？由上述证明的符号语言表述，以及前面所学的函数单调性和奇偶性概念的描述，你认为在高中数学中引入函数符号的意义何在？
4.例1的第(5)步是观察图像获得函数单调区间，如果没有列表画图，从函数解析式的分析可否获得单调区间？你怎样阐述你的单调性结论是对的？
【设计意图】引导学生的思考走向深刻，①使学生逐步发现高中研究函数的方法开始关注对函数解析式的代数特征的抽象分析，由此获得对图像性质的初步认识与把握。②促进学生对函数图象和函数解析式的关系的认识和理解。③使学生初步感受高中阶段引入更多的数学符号语言的必要性。一个等式代替了函数图象对称性冗长的中文表述，将自变量、函数值以及运动变化的关系简洁明了的展现出来。
【说明】例2和例1本质上没有区别，仅在二次函数二次项的正负上做了改变，显得有些多余，因此，本问题仅以例1的阅读为基础提出思考问题。
若选取学生又将重复例1中的做法，不如将例1从具体二次函数抽象到一般的二次函数，用字母系数代替常值系数，并针对二次项系数的正负进行必要的讨论，建议归纳总结如下。
问题5：完成2.2.1练习A-5和2.2.2练习A-3，并思考函数、方程、不等式之间有何联系？函数在求解不等式中有何作用？
【设计意图】促使学生发现函数、方程、不等式三者的内在联系。
问题6：你对可本中“一般地，对于任何二次函数都可以通过配方化为
，其中，
从而归结出二次函数的性质。”这段话有何理解？你认为它给你解决二次函数的相关问题提供了什么？方法or结论or其它？
【设计意图】促使学生学会在阅读中关注什么？该问题的回答可以反映出学生认知策略的不同，这为课上的交流埋下伏笔。在课堂交流中学生关注点的交流，会有助于学生对自己认知策略的反省，从而改善学生的学习方式和策略。
（注：澳大利亚教育学者比格斯（1987）定义了三种认知策略。第一种是浅层次的取向。通常是机械学习的方式，学习集中于表面看来重要的标题和要素并试图记忆，他们相信对细节的记忆是最好的学习方法；第二种是深层次取向。往往集中于寻求意义并伴随好奇心，把学习内容和个人意义的情景及已有的知识结合起来。第三种是成就取向。目的上类似于浅层次取向，集中于产物，表现为跟随教师教学为主的策略。）
问题7：你认为课本P59对二次函数的性质的归结是否满意？你人还可以补充进哪些性质？请重新归结梳理一个你最满意的性质条目。
【设计意图】使学生认识到函数性质的研究应该关注的哪些方面。定义域、值域、单调性、奇偶性、图像的对称性、图像与轴的交点情况等。
问题8：什么情况下可以用待定系数法求函数解析式？
【设计意图】提示学生要关注课本上一些文字的理解
问题9：完成课本例1；练习A-5；练习B-1后，思考待定系数求二次函数解析式时，如何设二次函数解析式会更方便计算？
【设计意图】认识一个函数解析式不同表达形式的价值和意义。
2.3课堂练习的设计选取及意图
练习1：尝试完成下列一组问题（依课本例2函数改编），并完成题后反思。
（1）已知函数，不计算试比较值的大小。
【设计意图】加深学生对函数单调性的分析和认识。
（2）已知函数，试比较值的大小。
（3）已知函数，试比较值的大小。
【设计意图】（2）（3）这是第（1）问的变式，使学生认识参数对函数性质的影响。（5）加强了对分类思想的运用。
（4）已知开口向下的二次函数满足，试比较值的大小。
【设计意图】加深学生对抽象函数的认识，增强对符号语言的理解。
（5）已知函数在单调递减，且满足，试比较值的大小。
【设计意图】这是第（4）问的拓展，去掉二次函数这个具体函数的背景，难度增大，加深学生对函数对称性的符号语言表述的理解。
反思：请指出以上5各小题的区别与联系，并抽象概括比较二次函数值的通法。
【设计意图】锻炼学生的归纳总结和抽象概括能力，抓住问题本质，只要开口方向和对称轴不变，相对大小是不会变的，此外，二次函数图像是研究具有轴对称性的函数的一个重要示意图。
练习2：
（1）练习B—3：用配方法求下列函数的定义域和值域：
① ②。
【选取意图】此题咋一看不是二次函数，但是若观察到根式下是二次函数就可以依据二次函数图像解一元二次不等式来求定义域，突出了函数与方程和不等式的内在联系。将根号下的二次函数在定义域内的值域开方就得到函数的值域，思维量较大，要求对一元二次函数的图像和性质很熟练，体现配方法这一通性通法的作用，学生为难在根号，难点在于未抓住根式下的主要矛盾，第（2）题答案也比较有趣，定义域和值域都只有一个元素，这又可以让学生加深对函数概念的理解。
（2）求函数的值域，并说出它在哪个区间上是增函数?在哪个区间上是减函数？绘制函数的图像。
【设计意图】对二次函数限定自变量取值后，该函数就不再是二次函数了，它仅是二次函数图像的一个部分，在整体中观察局部性质。该题加强了对函数是两个数集间的映射的概念的理解，突出了研究函数要关注定义域。
（3）用配方法求下列函数的定义域和值域：
（1）； （2）
【设计意图】使学生加深对能转化成一元二次函数问题的认识，还可以让学生认识到配方法在解决问题中的作用。此外，认识到研究二次函数在限定的取值范围内讨论其性质的必要性，从而可以使学生对高中阶段从集合之间的对应角度定义函数的必要性。
2.4课下探索与研究
以课本P61的探索与研究为题材，写一篇图像平移变换的小论文，要求阐述函数解析式的代数变化与图像的平移变化的联系（可否从外在的一种对应关系找到内在的坐标上的解释），为了发现函数图像间的平移关系，经常需对函数解析式做怎样的变形处理？
【修改】把课本探索与研究中的4.改成如下问题：
探究函数与；与；与的图像关系。
【设计意图】引导学生去探究揭示数学现象背后的原因。对4的修改更有利于学生去发现抽象其中的内在规律，获得图像平移变换的经验。
（此文选自高中数学B版第六次试验工作研讨会论文集.）
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考