已知向量e1向量e2 是两个互相垂直的单位向量,是否存在K

已知向量e1向量e2 是两个互相垂直的单位向量,是否存在k,使向量a=k向量e1+向量e2，向量b=向量e1+k向量e2夹角为60度

推荐答案 2011-12-25

要使得向量a和向量b的夹角为60度，则（以下字母均为向量）a·b/(|a|·|b|)=cos60` = 1/2，其中|a| = √(k^2+1)，|b| = √(1+k^2)，从而 (ke1+e2)(e1+ke2)/[√(k^2+1)·√(1+k^2)] = (ke1·e1+k^2e1·e2+e1·e2+ke2·e2)/(k^2+1) = (k+k)/(1+k^2) = 1/2 (e1与e2互相垂直，相乘得零)
故有，k^2-4k+1=0 => k= 2+√3或k=2-√3

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已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,k为何值时,e1+ke2与ke1+e2的夹...答：由已知得 |e1|=|e2|=1，且 e1*e2=0 ，e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角，则 (e1+ke2)*(ke1+e2)>0 ，展开得 k+k>0 ，解得 k>0 ，又因为它们不能同向，因此 1/k ≠ k/1 ，所以 k ≠ ±1 ，综上，当 k∈(0，1)∪(1，+∞) 时，e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角。