求两道微分方程的通解

Question

如题所述

Answer 1

第一题题目不对，不是个微分方程缺等号
2
ylny
dx=lny-x
dy
dy/dx=ylny/lny-x
(dy/dx)/y=lny/lny-x
d(lny)/dx=lny/lny-x
令lny=t
dt/dx=t/t-x=1+
x/(t-x)
dt/dx-1=x/(t-x)
d(t-x)/dx=x/(t-x)
(t-x)d(t-x)=xdx
两边积分整理
(t-x)^2=x^2
将t=lny代入
(lny)^2-2lny*x+x^2=x^2+c
2xlny=(lny)^2+c
1
(x^2-1)y'+2xy=cosx
y'+P(x)y=Q(x)
公式是
y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]
直接套公式
(x^2-1)y'+2xy=cosx
y'+2x/(x^2-1)
y=cosx/(x^2-1)
P(x)=2x/(x^2-1)
Q(x)=cosx/(x^2-1)
y=e^(-∫2x/(x^2-1）dx)[∫cosx/(x^2-1)*e^∫2x/(x^2-1）dx+C]
=e^(-(ln(x^2-1))[∫cosx/(x^2-1)*e^(ln(x^2-1)
dx
+C]
=1/(x^2-1)[∫cosx/(x^2-1)*(x^2-1)
dx+C]
=1/(x^2-1)（sinx+C)
第二题套公式类似
关键是求出P(X)
Q(X)
然后套公式的时候不要出错。太麻烦了，加点分吧！

Answer 2

解：
当x，y≠0时：
dy/dx
=(x³+y³)/3xy²
=(1/3)[(x/y)²+(y/x)]
=(1/3)[1/(y/x)²+(y/x)]
令：y/x=u，则：
y=ux
dy/dx
=
u+x(du/dx)，代入上式得：
u+x(du/dx)=(1/3)[(1/u²)+u]
∴x(du/dx)=1/(3u²)-(2/3)u
=(1-2u³)/(3u²)
分离变量得：
x/dx=(1-2u³)/(3u²du)
取倒数得：
(1/x)dx=3u²du/(1-2u³)
=
-(1/2)[d(1-2u³)]/(1-2u³)
不是一般性，两边取积分得：
ln|x|
=
-(1/2)ln|1-2u³|+lnc1
=ln[c1/√|1-2u³|]
，其中c1是常数
因此：
|x|
=
c1/√|1-2u³|，将u=y/x代入得：
|x|
=
c1/√|1-2(y/x)³)|
=c1|x(√x)|/√|x³-2y³|
于是得：
√|x³-2y³|=c1√|x|
因此：
孩发粉菏莠孤疯酞弗喀原方程的通解为：
x³-2y³=cx，其中c是常数
可以验证当x,y=0时，上式也成立
综上：
原方程的通解为：
x³-2y³=cx，其中c是常数