逆矩阵的特征值是什么？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵的特征值等于逆矩阵特征值的倒数，反过来也一样。

证明： 设λ是A的特征值，

α是A的属于特征值λ的特征向量则Aα=λα。若A可逆，

则λ≠0。等式两边左乘A^-1，

得α=λA^-1α。所以有 A^-1α=（1/λ）α所以

（1/λ）是A^-1的特征值，

α是A^-1的属于特征值1/λ的特征向量。所以互逆矩阵的特征值互为倒数。

注意：

系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。