如何判断一个方程是否是常微分方程的解？

Question

如题所述

Answer 1

常微分方程解的稳定性判别法：由它的特征值直接决定。

动力系统的运动稳定性的理论，是由俄国数学家李亚普诺夫于19世纪90年代所开创它是研究扰动性因素对运动系统的影响。这种扰动性因素，可以是瞬间的作用，引起系统的初始状态的变化；也可以是持续地起作用，而引起系统本身的变化。通常着重考虑的是前者。微小的扰动对于不同的系统运动的影响是不一样的。

对有些运动，影响不显著，受扰动的运动与未受扰动的运动相差很小。而对有些运动，扰动的影响可能很显著，以致无论扰动如何小，受扰动的运动与未受扰动的运动随时间的推移可能相差很大。简略地说，属于前者的运动是稳定的，属于后一类型的运动是不稳定的。运动稳定性理论就是要建立一些准则，用来判断所考虑的运动是稳定的或不稳定的。

常微分方程解基本内容：

李亚普诺夫创立的运动稳定性理论，不仅在力学、控制、工程及星际航行等科学尖端技术领域有其广泛深刻的应用，而且在现代物理、生物、化学等自然科学中得到了进一步的发展，同时它亦逐渐发展成为常微分方程学科本身许多课题理论研究的有力工具。李亚普诺夫稳定性理论中的一个核心问题，就是李亚普诺夫函数的构造问题。

30多年来人们作了不少的努力，但对于一般非线性系统，还没有得到通用而有效的构造方法。虽然如此，针对实际问题中出现的各种非线性系统，通过定性分析并根据实际情况进行具体分析，从而构造出恰当的李亚普诺夫函数，还是取得了丰富的成果。