设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求Y=X2的概率密度函数fY(y)

Question

（其中X的概率密度函数为：f (x)= {λe^-λx,x>0 0x<=0)

Answer 1

因为
P_Y(y)=F(Y<=y)=F(X^2<=y)={0,y<=0 ; F_X(y^1/2)-F_X(-y^1/2),y>o}
从而
f_Y(y)={0,y<=0 ; f _X(y^1/2)*1/2*y^(-1/2)=1/2*λ*e^(-λ*y^1/2)*y^(-1/2),y>o}

Answer 2

X的分布函数：
F_X(x)={ 1-e^-λx , x>0
{ 0 , x<=0

Y=X^2，X=±√Y
y<=0时，
P{Y<=0}=F_Y(y<=Y) - F_Y(-∞)=F_Y(y<=Y) - 0=0
所以y<=0，F_Y(y)=0，f_Y(y)=F_Y(y)'=0
y>0时，F_Y(y)=F_X(√y)=1-e^(-λ√y)
f_Y(y)=F_Y(y)'=e^(-λ√y)*λ*1/(2√y)=(1/2)λ*y^(-1/2)*e^(-λ√y)

Y的概率密度函数：
f_Y(y)={ (1/2)λ*y^(-1/2)*e^(-λ√y) , y>0
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