柯西施瓦茨不等式

Question

求证明过程

Answer 1

你说的柯西不等式是不是：
（a1^2+a2^2+…an^2)(b1^2+b2^2+…bn^2)≥（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)^2
若是这个的话，可用下面的方法证：
证明：（用构造不等式的方法证）
设下列n个一次函数y1=a1x+b1，y2=a2x+b2，y3=a3x+b3，……，yn=anx+bn
(ai、bi是常数，i=1、2、3、…、n ，x∈R）
∵y1^2+y2^2+y3^2+…yn^2≥0
∴（a1x+b1)^2+(a2x+b2)^2+(a3x+b3)^2+…+(anx+bn)^2≥0
整理得（a1^2+a2^2+…+an^2)x^2+2(a1b1+a2b2+…anbn)x+(b1^2+b2^2+…b3^2)≥0
此不等式恒成立的条件是
△=【2(a1b1+a2b2+…anbn)】^2--4(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…b3^2)≤0
即(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…b3^2)≥(a1b1+a2b2+…anbn)^2

Answer 2

施瓦茨不等式
一、高数中的施瓦茨不等式

证明：令，则
从而有，即
对的二次三项式讲，，从而有
所以

二、线代中的施瓦茨不等式
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
证明：
构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2>=0
(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2+2*z (x1y1+x2y2+...xnyn) +(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=0
上面的不等式左边是关于z的一元二次方程
那么它的根判别式Δ<=0
Δ=4(x1y1+x2y2+...xnyn)^2-4(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)<=0
得证[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

三、概率论中的施瓦茨不等式
证明：由于对任何随机变量，方差非负，所以对任意实数t,
D(Y-tX)=E{[(Y-tX)-E(Y-tX)]²}
=E{[(Y-E(Y))-t(X-E(X)] ²}
=E{(Y-E(Y))²-2t[(X-E(X)(Y-E(Y))]+t²(X-E(X))²}
=t²E(X-E(X))² -2tE[(X-E(X)(Y-E(Y))]²+E(Y-E(Y))²
=t²D(X)-2tCov(X,Y)+D(Y)>=0
不等式左边是关于t 的二次多项式，对任意实数t，它非负的充分必要条件是判别式<=0，即4[Cov(X,Y)]²-4D(X)D(Y)<=0,
得证：[Cov(X,Y)]²<=D(X)D(Y)

Answer 3

如果你知道拉格朗日恒等式，那么就很直观的知道证明过程了。
如果你不知道的话 那么我们可以构造N维向量a（a1,a2,a3,a4,...an）,b(b1,2b,b3,b4,...bn)向量的点乘之ab≤a的模乘b的模 得证