柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一
二维形式
等号成立条件：
当且仅当
（即
）时，取"=”。
向量形式
证明：（只是对二维的说明）
推广：
三角形式
等号成立条件：
（即
）。
一般形式
等号成立条件：
，或
中有一为零。
上述不等式等同于概述图中的不等式。
一般形式推广
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m×n矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。
概率论形式
积分形式
一般形式
设V是一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记做
，它具有以下性质：
1、
2、
3、
4、
当且仅当
并定义 α 的长度
，则柯西不等式表述为：
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