几道求极限的数学题，谢谢~

Question

1.lim n趋向无穷 （1-1/2的方）*(1-1/3的方)*……*(1-1/n的方)
2.lim x趋向2 (x的方-4)/(x的的方-3x+2)
3.lim x趋向0+0 (根号下1-cosx)/sinx
4.lim x趋向正无穷 【(根号下x+2)-根号3】/x-1

谢谢 请写出步骤 好的会加分的 谢谢

Answer 1

1.n→∞,lim(1-1/2^2)(1-1/3^2)……(1-1/n^2)
=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)……(1-1/n)(1+1/n)
=lim(1/2)(3/2)(2/3)(4/3)……(n-1/n)(n+1/n)
=lim(1/2)(n+1)/n
=1/2
2.x→2,lim(x^2-4)/(x^2-3x+2)
=lim(x+2)(x-2)/(x-2)(x-1)
=lim(x+2)/(x-1)
=4
3.x→0+0,lim√(1-cosx)/sinx，此时sin(x/n)>0，(n∈N+)
=lim(√2*sin^2(x/2))/(2sin(x/2)cos(x/2))
=(√2/2)lim(sin(x/2))/(cos(x/2))
=0
4.x→+∞,lim(√(x+2)-√3)/(x-1)
=lim(x+2-3)/(x-1)(√(x+2)+√3)
=lim1/(√(x+2)+√3)
=0
有不懂欢迎追问追问

请问第二题直接就可将2代入算了？因为是连续函数么？

追答

没错，是因为连续，连续就有极限值=函数值
有不懂欢迎追问

追问

第三题是用诱导公式吧 √(1-cosx)=√(2sin^2(x/2))吧 根号是扩着所有的吧？
那个x→0+0是什么意思？为什么sin(x/n)>0，(n∈N+)？谢谢

追答

没错，我打漏了括号，谢谢指出
x→0+0是x趋于0且恒有x>0，整个式子是求函数在x=0的有极限的意思
当x很接近0的时候（其实也是趋于的意思），当然有sinx>0了，那么有sin(x/n)>0，(n∈N+)
有不懂欢迎追问

Answer 2

1、去括号，分子分母消去得1/n　极限＝0
2、分解因式，消去（x-2)得(x+2)/(x-1)=极限＝4
3、。。三角的忘记得最多。你前边还有个0是什么东西？
也可以分子分母乘（1-cosx）,约去sinx得根号下（1/（1+cosx））极限　＝1/根号2
4、分子分母乘分子的加号式，消去（x-1）得极限＝1/无穷＝0

Answer 3

1.1-1/n^2=(1+1/n)(1-1/n)=((n+1)/n)*((n-1)/n)
这时全乘起来就可以抵消了（第n-1项中的n/(n-1)和第n项中的(n-1)/n)，原式=(n+1)/2n=1/2
2.(x^2-4)/(x^2-3x+2)=(x+2)(x-2)/(x-1)(x-2)=(x+2)/(x-1)=4
3.x趋向0时，1-cosx与1/2*x^2等价，sinx与x等价，代入原式就可以了，最后=根2/2
4.这个式子没看懂，你再说清楚一点吧

Answer 4

1.=lim n趋向无穷 （1/2*2/3*.......n-1/n）^2=lim n趋向无穷 (1/n)^2=0
2.=lim x趋向2 (2x)/(2x-3)=4
3.1/(2根号下1-cosx)=无穷
4.=lim x趋向正无穷 1/(2根号下x+2)=0