三秩相等是向量组等价的充要条件吗

Question

如题所述

Answer 1

这是充要条件。
两个向量组的秩相等，那么二者一定等价。因为向量组的秩是其张成的线性空间的维数，两个向量组的秩相等意味着其张成的线性空间相同，所以这两个向量组一定等价。两个向量组等价，那么其秩也一定相等。因为向量组的秩是其所含最大无关组的个数，两个等价的向量组所含最大无关组的个数一定相同，所以其秩也一定相等。