高数主要学什么

Question

如题所述

Answer 1

一、函数与极限
　　常量与变量
　　函数
　　函数的简单性态
　　反函数
　　初等函数
　　数列的极限
　　函数的极限
　　无穷大量与无穷小量
　　无穷小量的比较
　　函数连续性
　　连续函数的性质及初等函数函数连续性
二、导数与微分
　　导数的概念
　　函数的和、差求导法则
　　函数的积、商求导法则
　　复合函数求导法则
　　反函数求导法则
　　高阶导数
　　隐函数及其求导法则
　　函数的微分
三、导数的应用
　　微分中值定理
　　未定式问题
　　函数单调性的判定法
　　函数的极值及其求法
　　函数的最大、最小值及其应用
　　曲线的凹向与拐点
四、不定积分
　　不定积分的概念及性质
　　求不定积分的方法
　　几种特殊函数的积分举例
五、定积分及其应用
　　定积分的概念
　　微积分的积分公式
　　定积分的换元法与分部积分法
　　广义积分
六、空间解析几何
　　空间直角坐标系
　　方向余弦与方向数
　　平面与空间直线
　　曲面与空间曲线
七、多元函数的微分学
　　多元函数概念
　　二元函数极限及其连续性
　　偏导数
　　全微分
　　多元复合函数的求导法
　　多元函数的极值
八、多元函数积分学
　　二重积分的概念及性质
　　二重积分的计算法
　　三重积分的概念及其计算法
九、常微分方程
　　微分方程的基本概念
　　可分离变量的微分方程及齐次方程
　　线性微分方程
　　可降阶的高阶方程
　　线性微分方程解的结构
　　二阶常系数齐次线性方程的解法
　　二阶常系数非齐次线性方程的解法
十、无穷级数
　　无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。包括数项级数(包括正项级数和任意项级数，其中任意项级数中包括交错级数等)、函数项级数[又包括幂级数、Fourier（傅立叶）级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数]。无穷级数主要作用在于可以将具有无穷项的数列收敛成为函数或者逆向将一个函数展开为无穷级数，提供了一种新的逼近方式。这里需要说明的是，并不是所有的无穷级数都可以收敛成函数，需要“审敛”即判定其是否收敛。常见方法有比较法（包括极限形式的比较法），根值法，比值法等。数学专业则需要使用多达13种方法判断其是否收敛。
导数的概念
　　在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
　　例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，y=f(x) ，求质点在t0的瞬时速度？

　　我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量

　　这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点
的平均速度为；
　　若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
　　我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，

　　即：质点在t0时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义，如下：
　　导数的定义
　　设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地
　　函数有增量

　　若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f(x)在x0处的导数。

　　记为：还可记为：
函数f(x)在点x0处存在导数简称函数f(x)
在点x0处可导，否则不可导。
　　若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数f(x)在区间(a,b)内可导。这时函数y=f(x)对于区
　　间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，
　　我们就称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数。
　　注：导数也就是差商的极限
　　左、右导数
　　前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。

　　若极限存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的左导数。

　　若极限存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的右导数。
　　注：函数y=f(x)在x0处的左右导数存在且相等是函数y=f(x)在x0处的可导的充分必要条件

Answer 2

书名包括：《高等代数》，《数学分析》，《复变函数》，《泛函分析》，《微分方程》，《解析几何》等等
其中最主要的是 高等代数和数学分析，这两门是高数的主体和灵魂