单调递增区间：(-∞,+∞)。
因为√1+x^2>√x²=|x|,所以对任意实数x,都有x+√(1+x²)>0
∴定义域是(-∞,+∞)
函数在(-∞,+∞)上单增的.
设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
[x1+√(1+x1²)]-[x2+√(1+x2²)]
=(x1-x2)+(x1+x2)(x1-x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]
=(x1-x2)[1+(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]]
|(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]|<(|x1|+|x2|)/(|x1|+|x2|)=1
∴1+(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]>0
又x1-x2<0
∴[x1+√(1+x1²)]-[x2+√(1+x2²)]
=(x1-x2)[1+(x1+x2)/[√(1+x1²)+√(1+x2²)]]<0
∴x1+√(1+x1²)<x2+√(1+x2²)
∴f(x1)<f(x2)
即函数f(x)是单调增加的！
扩展资料：
函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
1、当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2) 等价于 ；
2、当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2) 。
对于该特殊函数f(x)，我们不说它是增函数或减函数，但我们可以说它在区间 [x1，x2]上具有单调性。
运算性质
1、f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
2、f(x)与 g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
3、当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
4、两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。