求解一道几何题（要具体）

Question

有一片圆形草地。草地的边缘有一根木桩，上面用一根绳子栓一头羊。
已知羊能吃到草的面积等于原草地的一半，求草地半径与绳长之比

会的答！
注意木桩在草地的边缘！！！！！。。其实就是说2圆相交部分面积是小圆的一半
to墨渍：你的几何方法是对的，我也列过一样的式子。。但是能解出来吗？我想要答案
另外建系积分可以试下。。可能可以化简
to笨笨小童:你说呢。。。不过这个题是小学的时候从一本英国中小学生读物上看到的。。从小学到高三没有一个数学老师能完整做出来的！！

Answer 1

强烈抵制某同志严重贬低初等数学的言论！！！难道某同志非比寻常，不是从初等数学开始学，而是一出娘胎就学高等数学的？要是真的很牛就自己开创一门比微积分高明N倍的高高等数学啊。牛顿、莱布尼茨难道不是从初等数学开始一步一个脚印学起来的吗？他们是积累到一定阶段才在前人的基础上发现极限和微积分的，人家都不说初等数学怎么怎么地（牛顿同志还说过他是站在巨人的肩膀上呢），某同志又有什么资格说！如果微积分是科学的大门，那初等数学就是通往这扇大门的道路；如果连路都不要了，我看某同志怎么去通向科学的大门，从天上飞过去不成？没有初等数学提供那么多难题来训练大脑，逼得大师们去寻找其它有突破性的新型理论工具，今天的数学又从哪里来的进步！典型的娶了媳妇忘了娘……

我就用初等数学的方法来解一解。首先是将元素抽象化，草地边缘抽象为圆周，木桩抽象为圆周上一点，绳子抽象为线段，羊抽象为绳子端点（即线段端点）。这样原题可变为：已知一个定圆，取圆周上一点为圆心，画一个新的圆，且两圆相交部分的面积恰为定圆面积的一半，求两圆的半径比。

设草地为⊙P，半径为R；设木桩为点P，即为新圆⊙Q圆心，设⊙Q半径为r；设⊙P与⊙Q的两个圆周交点为A、B；连接AB、PQ，AB与PQ交于点O；连接PA、PB、QA、QB；延长QP与⊙P圆周交于点F，连接FA、FB。

首先可知PF=PQ=PA=PB=R，QA=QB=r；FQ是⊙P直径，因此FA⊥QA，FB⊥QB；AB为⊙P与⊙Q的公共弦，易证PQ⊥AB，OA=OB，∠OPA=∠OPB=∠APB/2，∠OQA=∠OQB=∠AQB/2。

为解题方便，设∠OPA=∠OPB=a(弧度)、∠OQA=∠OQB=b(弧度)，设∠AQB=x(弧度)，则b∈(0，π/2)，x=2b，x∈(0，π)，∠APB=2a；由圆周角与对应圆心角的关系，可知∠PFA=∠OPA/2=a/2(弧度)。

将几何关系用代数式表示：
FA⊥QA：∠PFA+∠OQA=π/2，即a/2+b=π/2，因此：
a=π-2b ………………………………………………………………………（1）
PQ⊥AB：OP=PAcos∠OPA=Rcosa，OQ=QAcos∠OQA=rcosb，OP+OQ=PQ，即：
Rcosa+rcosb=R ………………………………………………………………（2）
PQ⊥AB：OA=PAsin∠OPA=Rsina，OA=QAsin∠OQA=rsinb，即：
Rsina=rsinb …………………………………………………………………（3）

两圆相交部分面积（记为S）等于⊙P与⊙Q的两个弓形（记为Gp与Gq）面积之和，而两个弓形面积分别等于两个扇形（记为Sp与Sq）面积减去对应的圆心三角形ΔPAB、ΔQAB面积（记为SΔp、SΔq）：
Sp=π(R^2)×(∠APB)/(2π)=π(R^2)(2a)/(2π)=aR^2，（R^2表示R平方，下同）
Sq=π(r^2)×(∠AQB)/(2π)=π(r^2)(2b)/(2π)=br^2，
SΔp=AB×OP/2=OA×OP=Rsina×Rcosa=R^2sinacosa，
SΔq=AB×OQ/2=OA×OQ=rsinb×rcosb=r^2sinbcosb，
S=(Gp-SΔp)+(Gq-SΔq)=aR^2-R^2sinacosa+br^2-r^2sinbcosb，
现知S是⊙P面积的一半，即：
aR^2-R^2sinacosa+br^2-r^2sinbcosb=(πR^2)/2 ………………………（4）

由（3）知r=Rsina/sinb，连同（1）一同代入（4），利用相关的三角函数关系式，可消元、移项化简得关于b的关系式：
π-4b+sin4b+8b(cosb)^2-4sin2b(cosb)^2=0 ………………………………（5）
再利用正弦、余弦倍角关系sin4b=2sin2bcos2b、(cosb)^2=(1+cos2b)/2，可将（5）进一步简化为下式：
4bcos2b-2sin2b+π=0 …………………………………………………………（6）
将x=2b代入（6），最后得关于x的方程：
2xcosx-2sinx+π=0 ……………………………………………………………（7）

综合（1）、（3），有：
r/R=sina/sinb=sin(π-2b)/sinb=2cosb，而cosb=cos(x/2)，x∈(0，π)，因此只要求出方程（7）在(0，π)内的解，两圆半径比自然就能求出来了。现在问题转变为求方程（7）在(0，π)内的解。

易知（7）是一个三角函数的超越方程，不具有特殊性，用初等数学的方法无法求得精确解（事实上这个方程的解无法表示成有理式或确定的超越式形式，利用微积分方法也只能求出关于x的隐函数表达式，求不出一个确定的有理式或超越式解），此时可用超越方程的数值解法求得相对精确的近似解。可用函数图像法结合二分法求近似解。

解方程（7）转变为求函数f(x)=2xcosx-2sinx+π在区间(0，π)内的零点（即函数图像与x轴交点）。在给定区间内取特殊点描点作图，可知图像零点在区间[π/2，2π/3]内。事实上由f(x)是连续函数，且f(π/2)=π-2＞0、f(2π/3)=π/3-√3＜0（√表示二次根号）可知零点在区间[π/2，2π/3]内。以[π/2，2π/3]为初始区间，下面用二分法求f(x)=0的近似解，为方便，用保留七位小数的近似值替代根式，π值取3.1415927。

第一次二分：区间[π/2，2π/3]中点为x=7π/12=π/2+π/12。
已知sin(π/6)、cos(π/6)的值，用倍角关系可求得：
sin(π/12)=(√6-√2)/4=0.2588190，cos(π/12)=(√6+√2)/4=0.9659258；
sin(7π/12)=cos(π/12)=0.9659258，cos(7π/12)=-sin(π/12)=-0.2588190；
则f(7π/12)=0.2611199＞0，零点落在区间[7π/12，2π/3]内。

第二次二分：区间[7π/12，2π/3]中点为x=5π/8。
已知sin(π/12)、cos(π/12)的值，用倍角关系与和差化积关系可求得：
sin(5π/8)=0.9238795，cos(5π/8)=-0.3826834
则f(5π/8)=-0.2089605＜0，零点落在区间[7π/12，5π/8]内。

按照以上做法再经过数次二分，可求得f(x)=0在区间(0，π)内的近似解为：x≈1.9056957。此时f(1.9056957)≈0.0000001，再分还可知精确解落在区间(1.90569570，1.90569575)内，因此取近似值∠AQB=x≈1.9056957弧度，精确到小数点后七位，精度已经相当高了，换算成角度为∠AQB≈109.1883°≈109°11′18〃。
用近似解x≈1.9056957可求出cos(x/2)≈0.57936425，因此r/R比较精确的近似值为：
r/R=2cos(x/2)≈1.1587285，或写成R/r≈0.8630149。

保留四位小数：r/R≈1.1587，或R/r≈0.8630，说明绳子长度要长于草地半径。

画图可知相交部分的面积S随x=∠AQB的减小而增大。x→0时，S→定圆面积；x→π时，S→0。R=r时x=2π/3，可算出S约为定圆面积的39%，因此要使S为定圆面积的一半，∠AQB要小于2π/3，定圆圆心落在动圆内部，当然就有r＞R。

Answer 2

我晕，平面几何，N年前就不用了，早忘光了，高数还有些印象的，给出个高数的解法吧，希望对楼主有点启发。
因为对称，只考虑半圆的草场，设草地半径为a，绳半径为b
a与b夹角为θ°，木桩为圆心O点，2a方向为坐标轴，半个草地在坐标轴上方，则cosθ°=b/2a
以2a方向为R轴，θ=θ°，O为原点 建立极坐标系(R,θ°)，
积分法求曲边扇型面积公式为A=∫1/2*R（θ）^2dθ积分限为（α，β）
半径为a的圆的极坐标方程为r=2a*cosθ°
半径为b的圆弧的极坐标方程为r=b
所以分别在（0°，θ°）和（θ°，90°）内求积分，之和
∫1即为羊吃草的面积的一半。
所以∫1= ∫1/2*b^2dθ积分限为（O°，θ°）+∫1/2*(2a*cosθ°)^2dθ 积分限为（θ°，90°） 这个积分不难解，隐约记得是高等数学第一册的习题吧，求解cosθ°平方的积分先用倍角公式降次化为cos2θ°形式然后用积分公式∫cos2θ°dθ=1/2*sin2θ即可求出具体答案，我毕业年头久了点，具体计算就不计算了，手太生，楼主要具体结果的话，找个大二理科学生手算就可以求出来了。求出∫1即为羊吃草的面积的一半。
然后求草地面积的一半设为S，则S=1/2*лa^2
由题意，S=2*∫1，可以推出一个只含a,b两个未知数的等式，解应该是个隐函数，即F（a,b)=0形式
不一定能化成a=f(b)形式，如果能化成a=f(b)形式
则a/b=f(b)/b就是答案。
楼主说从小学到高中的老师都不能完整解出来，不一定就是老师们水平低，只是老师常年教初等数学，高数的知识不常用，生疏罢了，这道题你随便找个大一大二学生，应该很简单一道题。其实很多中学数学中的一些“难题”，在初等数学范围内要靠技巧，但是用高等数学的方法，就变成机械的解方程了。学了高等代数后，读研究生再学拉普拉斯变换后，可以轻松用矩阵法或者变换法化多元高次微分方程为线性方程，线性方程即可用四则运算求解了。
所以楼主大可不必花大量时间，来研究一些题目的初等数学解法，因为初等数学的局限性太大了，近代科学从牛顿和莱布尼兹引入极限后，才进入黄金时期，科技才飞速发展，微积分是现代自然科学的基础，学了微积分，才进入了科学的大门，所以楼主有时间可以自学高数和线代，之后回头再看高中的题目，会有一览重山小的感觉。

参考资料：同济大学的高等数学，或者微积分的书都可以

Answer 3

令绳长/草地半径=t,可设草地半径为1，绳长为t,在平面图上（已绘制好，不知道怎么传上来，有需要可以给你）令草地为在（0，0）为圆心，1为半径的圆，羊可活动的范围为在（1，0）为圆心，t为半径的圆内
根据圆的特性，设草地x=sinθ,y=cosθ
羊圈x=sinα,y=1+tcos（π-α）（羊活动在草地上形成扇形角度为α）
cos（π-α）=-cosα=-cos2（0.5α）根据图形特性，得到0.5α+θ=1/2π
所以cos（π-α）=-cos2（1/2π-θ）=-cos（π-2θ）=cos2θ
所以dA=2〔cosθ-1-tcos（π-α）〕dθ==〔cosθ-1-tcos2θ〕dθ(两边对称)
A=-sinθ-θ+1/2tsin2θ=1/2π（θ从0到arcsin(根号下1-(1/2 t)^2 )
只有一个未知数t,所以可以直接得出t（自己计算哦）

Answer 4

占个位置：
令草地半径为R，绳长为L，羊能吃到草的面积为SL，草地的面积为SR
若L＝R，则SL＜SR/2
若L＝√2*R，则SL＞SR/2
∴R＜L＜√2*R，1/√2＜R/L＜1

昨天占位置,今天给点思路(本人的积分和三角知识都已经完壁归赵了)：
令小圆的面积为S
令草地半径R＝(cscα)/2 其中 α∈(π/6，π/4)
令绳长L=1
以(0,0)为圆心，L为半径画一个大圆，x^2＋y^2＝1， y＝√(1－x^2) ........①
以(0,R)为圆心，R为半径画一个小圆，x^2＋(y-R)^2＝R^2， y＝√(R^2－x^2)＋R ........②
于是，两圆相交于A(-cosα,sinα)和B(cosα,sinα)
S/4＝①在cosα到0的定积分－②在cosα到0的定积分＝πR^2/4

好了，公式熟练的朋友可以下手了。

Answer 5

先把相交的点跟两个圆心分别连起来，得到两个扇形：
相交部分的面积＝两个扇形的面积的和－两个三角形的面积的和。
设R圆的扇形角度是2a，r圆的扇形角度是2b。
得到πR^2/2=(a/180)πR^2+(b/180)πr^2-R*R*sina
式子里总共三个未知数。a、b、r、
再配合
R*cosa+r*cosb=R
R/sinb=r/sina
总共三个式子就能解决r是多少了