求高数中的三角函数的极限求解

Question

我是初学高数的孩子、求解例如lim x趋向于0或∞情况下(sin 1/x）/(1/x)等等情况下各种的结果、我对这个真的很乱、

Answer 1

总的来说，要搞清楚，大数与有限数，有需要可以使用夹逼定理、罗必塔法则等。
如求解例如lim x趋向于0情况下(sin 1/x）/(1/x)，1/x趋向于∞，sin 1/x∈[1,1]，
所以lim x趋向于0，(sin 1/x）/(1/x)=0；
如求解例如lim x趋向于∞情况下(sin 1/x）/(1/x)，1/x趋向于0，sin 1/x趋向于0，
此时由于lim x趋向于0，(sin x）/x=1，
所以lim x趋向于∞，(sin 1/x）/(1/x)=1；
对于0/0，∞/∞，∞±∞等等情况往往需要可以使用夹逼定理、罗必塔法则等。

Answer 2

你有必要看看高中基本初等函数性质了。

Answer 3

lim(x趋于无穷) (sin1/x)/(1/x) 这里可以设u=1/x
则原式化 lim(u趋于0) sinu/u 利用等价无穷小可知 u趋于0的时候 sinu趋于u
所以上式为1 也就是lim(x趋于无穷) (sin1/x)/(1/x)=1
等价无穷小除了你能自己用严格数学去证明它之外，一个比较好的记忆方和理解法就是图像法。
举个例子 sinx当x趋于0的时候 sinx趋于x 其实就是在很接近0的小区间内
函数f(x)=sinx 与函数g(x)=x的图像非常接近，包含x=0在内的区间半径越小，f和g的图像越接近。当包含x=0的区间半径趋于0的时候两个函数图像是重合的。
这里要注意两点，就是等价无穷小的两个函数必须是当自变量趋于某一个数的时候函数值要趋于0，即x趋于某一个值的时候f(x)要趋于0。例如上面的当x趋于0，必须是sinx趋于0。称两个函数为等价无穷小就是指的函数值而非自变量的值。
当然前提是图像要知道画。学习阶段几个重要等价无穷小
e^x-1趋于x ln(x+1)趋于x sinx趋于x tanx趋于x 这些都可以用图像去理解。
所以图像法其实还是有所帮助的
另一个 lim(x趋于0) (sin 1/x）/(1/x)
化为 lim(x趋于0) x(sin 1/x）
由于sin1/x是不大于1的数，而x趋于0
高数书在极限章节肯定有一个定理就是一个有限大的数乘以一个无穷小量还是无穷小量，这个我相信应该不难理解。所以为0