对坐标的曲面积分

Question

如题所述

Answer 1

曲面积分的意义

1、对弧长的曲线积分是为了求出线密度变化的弧长质量，是对一个坐标轴进行投影运算。

2、对坐标的曲线积分是为了求出变力沿有向弧段所做的功，所以两者必须进行点积运算，且必须对两个坐标轴进行投影运算求和，这是由变力是矢量的特点决定的。

3、对面积的曲面积分是为了求出面密度变化的空间曲面的质量，只要对一个坐标平面，比如xoy平面进行投影运算即可。

4、对坐标的曲面积分是为了求出具有空间速度矢量的流体流出有向曲面的流量，因此也必须两者做点积运算，同时必须在三个坐标平面进行投影运算，然后求和。

扩展资料

第一类曲线积分：即数量值的曲线积分（结果与积分路径的方向无关）

第二类曲线积分：即向量值函数的曲线积分（计算结果与积分路径的方向有关），第一类曲线积分的实际意义可以理解成“曲线的质量“。被积函数即为曲线上某一点的线密度与坐标的函数关系。

以此得到计算公式：若x=x(t),y=y(t),a≤t≤b，而第二类曲线积分的物理意义可以是变力F=(P,Q)沿定向曲线弧L所做的功，其计算公式也由参数方程推导，当第二类曲线积分由平面推广到空间曲线时，类似的公式仍成立。

而此时，使用斯托克斯公式转化为二重积分往往更加简便：由于斯托克斯公式适用的是闭合曲线，当我们计算非闭合曲线的第二类曲线积分时，往往需要将曲线首尾相连形成闭合区域，再减掉连接线部分对应的曲线积分。

我们可以以该点为圆心取一个极小的圆，分两部分计算曲线积分。其中，小圆周的曲线积分不使用格林公式（因为存在没有定义的点），而剩余部分使用格林公式即可。