怎么求函数f(x)的导数？

Question

如题所述

Answer 1

1. 使用定义法：根据导数的定义，导数表示函数曲线在某一点的切线斜率，可以通过求函数的极限来求导数。即求解极限lim(h0) [(f(x+h)-f(x))/h]。

2. 使用基本导数公式：对于常见的函数，有一些基本导数公式可以直接使用。例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数可以使用幂函数的导数公式，指数函数、对数函数的导数可以使用指数函数、对数函数的导数公式等。

3. 使用导数的性质和规则：导数具有一些常用的性质和规则，如和差法则、乘法法则、除法法则等，可以根据这些规则对函数进行求导。例如，和差法则表示(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)，使用这个法则可以求解两个函数之和的导数。

4. 使用求导公式和求导技巧：有一些常见函数的求导公式可以直接使用，如三角函数、反三角函数等的导数公式。

Answer 2

导数的定义是函数在某一点的导数，是函数值的改变量与自变量的改变量的比值在极限下的结果。
假设函数f(x)在x处可导，那么它的导数在x点的值就是f'(x)，表达形式为：
f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h
对于大部分常见的函数，我们可以直接用导数公式进行求解。例如二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为：
f'(x) = 2ax + b
对于复合函数，我们可以使用链式法则进行求导。假设f(x) = g(h(x))，那么它的导数为：
f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
对于一些特殊的函数，例如三角函数、指数函数等，我们需要记住它们的导数公式。例如：
(sinx)' = cosx(sinx)′=cosx
(cosx)' = -sinx(cosx)′=−sinx
(ex)' = ex(ex)′=ex
$(lnx)' = 1/x

Answer 3

设f(x)=∑(n=1→∞)n²x^n
当x=0时,f(x)=0
当x≠0时,f(x)/x=∑(n=1→∞)n²x^(n-1)
两边从0到x积分,得∫{0,x}f(t)/t*dt=∑(n=1→∞)nx^n=x/(1-x)²
求导得f(x)/x=[(1-x)²+2x(1-x)]/(1-x)^4
f(x)=x(1+x)/(1-x)³