a的n次方加b的n次方展开式是什么?

Question

如题所述

Answer 1

a的n次方加b的n次方展开式如下：

求证：a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+b^(n-1)]

证明：用数学归纳法

当n=1时，左边=a-b=右边，成立

假设当n=k时，a^k-b^k=(a-b)[a^(k-1)+a^(k-2)b+a^(k-3)b^2+...+b^(k-1)]

当n=k+1时，a^(k+1)-b^(k+1)=a^(k+1)-ab^k+ab^k-b^(k+1)

=a(a^k-b^k)+(a-b)b^k

=(a-b)[a^k+a^(k-1)b+a^(k-2)b^2+...+ab^(k-1)]+(a-b)b^k

=(a-b)[a^k+a^(k-1)b+a^(k-2)b^2+...+ab^(k-1)+b^k]

成立

原题得证

二项式定理基本信息

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。

该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。