直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1垂直A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点

Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1垂直A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点 C1M垂直面A1ABB1
求证(1) A1B垂直AM
（2）平面AMC1／／平面NB1C
（3）求A1B与B1C所成的角　
谢谢大家了

Answer 1

1、∵C1M⊥平面A1ABB1，

A1B∈平面AA1B1B，

∴C1M⊥A1B，

∵AC1⊥A1B，（已知），

C1M∩AC1=C1，

∴A1B⊥平面AC1M，

∵AM∈平面AC1M，

∴A1B⊥AM。

2、∵M、N分别是A1B1和AB的中点，

A1B1=AB，A1B1//AB，

∴MB1//AN，MB1=AN，

∴四边形ANB1M是平行四边形，

∴B1N//AM，

∵四边形ANMA1是平行四边形，

∴MN//AA1，MN=AA1，

∵AA1//CC1，AA1=CC1，

∴MN=CC1，MN//CC1，

∴四边形MNCC1是平行四边形，

∴C1M//CN，

∵C1M∩AM=M，CN∩NB=N，

∴平面AMC1//平面NB1C。

3、由前所述，A1B⊥平面AMC1，

而平面NB1C//平面AMC1，

则A1B⊥平面NB1C，

B1C∈平面NB1C，

∴A1B⊥B1C，即A1B和B1C所成角为90度。

追问

四棱锥PABCD的底面是矩形,PA垂直面ABCD E,F 分别是AB PD的中点,二面角P-CD-B=45　　
１　ＡＦ／／面ＰＥＣ
２　求证面ＰＥＣ垂直面ＰＣＤ
３　设ＡＤ＝２　ＣＤ＝２根号２　求点Ａ到面ＰＥＣ的距离

()

追答

1、取CD中点M，连结AM、FM，FM是△PDC中位线，FM//PC，四边形AECM是平行四边形，AM//CE，FM∩AM=M，PC∩CE=C，
∴平面AFM//平面PEC，
∵AF∈平面AFM，
∴AF//平面PEC。
2、∵CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，
根据三垂线定理，
∴CD⊥PD，
∵〈PDA是二面角P-DC-AB的平面角，
∴〈PDA=45°，
∴△PAD是等腰RT△，
F是PD中点，
则AF⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，CD∈平面ABCD，
∴CD⊥PD，
PD∩AF=F，
∴CD⊥平面PAD，
AF∈平面PAD，
∴AF⊥CD，
∵PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，
AF∈平面AFM，
∴平面AFM⊥平面PDC，
前已证平面AFM//平面PEC，
∴平面PEC⊥平面PCD。（一平面和二平行平面相交，若和其中一平面垂直，则必和另一平面垂直。
3、连结AC，AD=2，AB=CD=2√2，AP=AD=2，
S△ABC=AB*BC/2=2√2，
VP-ABC=AP*S△ABC/3=4√2/3，
设A至平面PBC距离为d,
VA-PBC=S△PBC*h/3,
根据勾股定理，PB=2√3，
根据三垂线定理，BC⊥PB，
△PBC是RT△，
S△PBC=PB*BC/2=2√3，
VA-PBC=2√3h/3
VP-ABC=VA-PBC，
2√3h/3=4√2/3,
h=2√6/3，
点Ａ到面ＰＥＣ的距离为2√6/3。

Answer 2

证明（1）∵M，N分别为A1B1，AB中点，
∴B1M∥NA且B1M=NA，
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC，B1N⊄平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1
连接MN，
∵矩形BB1A1A中，M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥CC1且BB1=CC1
∴四边形CC1MN是平行四边形，
∴MC1∥CN，
∵MC1⊂平面AMC，CN⊄平面AMC1，
∴CN∥平面AMC1，
∵CN⊂平面B1CN，B1N⊂平面B1CN，CN∩B1N=N，
∴平面B1CN∥平面AMC1；
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
BB1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1
∴C1M⊥BB1
又∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵A1B1∩BB1=B1，A1B1、BB1⊂平面AA1B1B
∴C1M⊥平面AA1B1B，
∵A1B⊂平面AA1B1B，
∴C1M⊥A1B，
又∵AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，C1M、AC1⊂平面AC1M，
∴A1B⊥平面AC1M，
∵AM⊂平面AC1M，
∴A1B⊥AM．