线性代数证明题

Question

设u是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，v1，v2，…，v n-r是对应齐次线性方程组的一个基础解析。证明：
（1）u，v1，v2，…，v n-r线性无关
（2）u，u+v1，u+v2，…，u+v n-r线性无关

Answer 1

用定义证明。
1、设yu＋x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)=0，证明系数y=x1=x2=...=x(n-r)=0
若y≠0，则u=-(x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r))/y，即u可以由v1,v2,...,v(n-r)线性表示，所以u是齐次线性方程组Ax=0的解，与已知条件矛盾。所以y=0。
此时，x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)＝0，因为v1，v2，...，v(n-r)是Ax=0的基础解系，它们是线性无关的，所以x1＝x2＝...＝x(n-r)=0。
综上，由yu＋x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)=0只能得到y=x1=x2=...=x(n-r)=0，所以u，v1，v2，...，v(n-r)线性无关。
2、设yu＋x1(u+v1)+x2(u+v2)+...+x(n-r)(u+v(n-r))=0，则(y+x1+x2+...+x(n-r))u+x1v1+x2v2+...+x(n-r)v(n-r)=0，因为u，v1，v2，...，v(n-r)线性无关，所以y+x1+x2+...+x(n-r))＝x1＝x2＝...＝x(n-r)=0，所以y＝x1＝x2＝...＝x(n-r)=0，所以u，u+v1，u+v2，…，u+v n-r线性无关

Answer 2

kU+k1V1+k2V2+…+kn-rV n-r=0（1）
v1，v2，…，v n-r是对应齐次线性方程组的一个基础解析。
即 AVi=0
用A乘（1）式两端，有
AkU=0,而 AU=b不等于0，所以k=0，将其代入（1）式
v1，v2，…，v n-r线性无关，所以k1=k2=……=kn-r=0=k
即有 u，v1，v2，…，v n-r线性无关
(2)的思路差不多