八年级数学题（关于勾股定理的）

Question

1.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD²=AD×BD.求证：AC⊥BC
2.若△ABC的三边abc满足a²+b²+c²+50=6a+8b+10c 求△ABC的面积

Answer 1

1.
AB = AD + BD
∴
AB^2 = (AD + BD)^2 = AD^2 + 2AD*BD + BD^2
但是 AD*BD = CD^2
所以
AB^2 = AD^2 + BD^2 + 2CD^2.....(1)
因为CD⊥AB
所以有△ADC是RT△
根据勾股定理有
AC^2 = AD^2 + CD^2
同理有
BC^2 = BD^2 + CD^2

那么(1)可以化为
AB^2 = AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = (AD^2 + CD^2) + (BD^2 + CD^2) = AC^2 + BC^2
逆用勾股定理可以知道△ABC为RT△

2。
a²+b²+c²+50=6a+8b+10c
整理得
a² - 6a + 9 + b² - 8b + 16 + c² - 10c + 25 = 0
也就是
(a - 3)^2 + (b-4)^2 + (c-5)^2 = 0
三个平方数相加为0 因为平方数一定非负
等式要成立,则三个平方数分别为0
所以有
a-3=0
b-4 =0
c-5=0
也就是
a=3， b=4， c=5
刚好是一组勾股数
那么△ABC的面积= 1/2 *3 * 4 = 6

Answer 2

1、因为CD是AB边上的高，所以，角ADC=角BDC=90度。
因为CD²=AD×BD，所以，CD/BD=AD/CD，
所以，三角形ACD相似三角形CBD，
所以，角ACD=角B。因为角B+角BCD=90度，所以，角ACD+角BCD=90度，
即角ACB=90度，所以，AC⊥BC。
2、a²+b²+c²+50-6a-8b-10c =0
(a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0
a=3,b=4,c=5
因为a²+b²=c²，所以，△ABC是直角三角形。

Answer 3

CD²=AD×BD
CD∶BD=AD∶CD
∠ADC=∠CDB
∴⊿ADC∽⊿CDB
∴∠ACD=∠CBD
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠CBD+∠DCB=90°
∴AC⊥BC
a²+b²+c²+50=6a+8b+10c
a²-6a+9+b²-8b+16+c²-10c+25=0
(a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0
∴a=3,b=4,c=5
∴S⊿ABC=1/2×3×4=6